动力系统的混沌和维数理论

In this project, we study the chaos theory and dimension theory in topological dynamics. On the one hand, we study the chaotic behavior of dynamical systems induced by a continuous self-map. The complexity of weakly mixing systems have aroused great interest, we will study the open problem that whether the whole space of a weakly mixing system can be a chaotic set and under what conditions a weakly mixing system must have uniformly separated invariant chaotic sets. We will also study chaos, sensitivity and equicontinuity properties in the mean sense, and their relationship with other important dynamical properties. On the other hand, we study the dimension theory of dynamical systems under amenable group actions. We will focus on the relations among topological entropy, measure-theoretical entropy, Hausdorff dimension of the space and chaotic sets.

本项目主要研究拓扑动力系统中的混沌和维数理论这两个方面。一方面，我们研究由连续映射诱导的动力系统的混沌行为。弱混合系统的复杂性备受大家的关注，我们将研究整个空间能否作为弱混合系统的混沌集这个问题和弱混合系统具有迭代不变一致分离的混沌集的条件。我们还将研究平均意思下的混沌，敏感性和等度连续属性，以及它们与其它动力学性质之间的关系。另一方面，我们研究amenable群作用下动力系统的维数理论，侧重于研究拓扑熵，测度熵，空间Hausdorff维数和混沌集的Hausdorff维数之间的关系。

本项目主要研究拓扑动力系统的混沌现象以及相关问题。取得的研究成果分为以下几个方面：（1）研究混沌发生的条件和各种混沌之间的关系。证明了传递系统存在不变的一致分离的混沌集当且仅当它有不动点和非一致刚性的，构造了一个弱混合一致刚性的完全混沌系统；撰写综述系统总结了最近拓扑动力系统中混沌研究的最新进展。（2）弱混合的局部化相关研究。用Furstenberg族的方法描述了正拓扑熵系统和non-PI极小系统出现的弱混合集的性质；得到了弱混合集与其它动力学性质，包括proximal核、Li-Yorke混沌偶对和敏感集，之间的关系；证明了Δ-弱混合集是多重熊混沌的和正拓扑熵蕴含Δ-弱混合集。（3）研究平均意义下的混沌、敏感和等度连续性质。证明了一个序列只要满足逐点遍历定理和一个弱增长的条件，那么正拓扑熵蕴含沿这个序列发生平均意义下的混沌。特别地由多项式生成的序列和素数序列满足条件。用剖分的方法研究了遍历测度的平均敏感性，并得到它与测度序列熵之间的联系。证明了拓扑图上的连续映射具有零拓扑熵当且仅当任意点的轨道闭包具有平均等度连续性质，从而得到具有零拓扑熵的拓扑图系统满足Sarnak猜测。（4）传递系统分类相关研究。得到了满足多重回复性质的传递系统的刻画；证明了具有伪轨跟踪性质的传递系统存在加法机器子系统，每个不变测度可以被集中在加法机器的几乎一对一扩充的子系统的测度逼近；还研究了半群作用的多重传递和Δ-传递属性。（5）Amenable群作用的混沌理论和维数相关的研究。证明了可数离散的amenable群作用的正拓扑熵系统蕴含沿着所有无限子序列时间集发生Li-Yorke混沌；在符号系统和Gauss系统分别构造了一个处处具有满Hausdorff维数的多重熊混沌集。