可数符号动力系统上非正规数集的维数理论

The non-normal numbers in [0,1] hold dichotomy: on one hand,the set of non-normal numbers has null Lebesgue measure;on the other hand,it is a residual set,which means the complement of it is a set of first category. That implies that the set of non-normal numbers possesses the essential information about the topology structure of the system. The topology property of non-normal number set shall be studied in this proposal from the viewpoint of fractal dimension in this program. We will mainly consider two classes of non-normal number sets with extreme frequency oscillation in the countable symbolic dynamical system. Hopefully, the Billingsley dimension with respect to Gibbs measure can be determined in order to exhibit the complexity of the system. Our main tools include: limit theorem in ergodic theory and thermodynamic formalism, and construction of Moran sets. As application, we will also discuss the Markov-Renyi system with countable branches. In perspective,our results may apply to theory of dynamical systems and information theory.

区间[0,1]上的非正规数具有两面性。一方面，非正规数集的Lebesgue测度为零，另一方面，非正规数集是[0,1]的剩余集（它关于[0,1]的补集是第一纲集）。非正规数承载有系统的本质信息。本项目拟从分形维数角度进一步刻画非正规数集的拓扑性质，主要研究可数符号动力系统中两类频率极度振荡的非正规数集关于Gibbs测度的Billingsley维数，我们希望通过该集合的分形维数刻画系统的复杂度。我们的主要工具是遍历理论中基本方法，分形理论中的Moran集的构造以及热力学机制理论。作为应用我们研究[0,1]上具有可数分支的Markov-Renyi系统。本项目的研究有望在动力系统理论和度量数论理论中加以应用。

我们主要研究了分形几何中如下两个方面的问题。. 一、可数符号动力系统中的维数理论. 我们首先研究了可数符号动力系统中拟正则点集基于Gibbs测度的Billingsley 维数，得到一个确定的维数公式，推广申请人和马际华在2014年得到的结果。其次，我们研究了可数符号动力系统中任一不变测度的普适点集，用关于Gibbs测度定义的Billingsley维数刻画了该集合的大小，同时将该结果转移到区间扩张Markov-Renyi动力系统上。我们还研究了可数符号动力系统中非正规数集的大小，同时刻画了极端非正规点集和最大震荡点集的大小。申请人与宋昆昆合作研究了可数符号动力系统中字符以某种性质增长的集合，获得关于Gibbs测度的Billingsley维数公式。上述结果以4篇学术论文形式给出。其中1 篇发表在 Entropy上，1篇发在Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society。另外两篇“Non-normal points in the countable symbolic space“和“Certain sets in the countable symbolic space” 均已整理成稿。. 二，自仿谱测度的谱理论. 我们研究了一类整自仿测度的谱结构，发现该类测度的谱均具有一种“树”结构。同时研究了二维空间中带有三个字符的自仿测度的谱理论。相关结果以两篇学术论文形式给出。其中 “Spectra of spectral self-affine measures with three digits” 被 Analysis Mathematica 接收，“Tree structure of spectra of spectral self-affine measure ” 已投稿 Journal of Functional Analysis。