拓扑动力系统复杂性理论的研究

In this project, we mainly concern the complexity theory of topological dynamical systems. We will study the size of chaotic sets, the complexity of dynamical systems with positive topological entropy, mean equicontinuity and mean sensitivity. More precisely,. 1. In the aspect of the size of chaotic sets, we will study the conditions of dynamical systems for which all the maximal chaotic sets have the same cardinality, the existence of everywhere second category chaotic sets, the dynamical version of Mycielski theorem and its applications to invariant chaotic sets.. 2. In the aspect of the complexity of dynamical systems with positive entropy, we are aim to find new descriptions of the complexity of those systems.. 3. In the aspect of mean equicontinuity and mean sensitivity, we will examine whether some classes of simply dynamical systems are mean equicontinuous. We will also study the multi-variant version of mean sensitivity and its relations to other complexity properties.. These studies will enable us to have an intensive understanding of the complexity theory of topological dynamical systems and related issues and try to solve some open problems in this filed.

本项目关心拓扑动力系统复杂性理论及相关问题，将主要致力于混沌集的刻画、正拓扑熵系统的复杂性、平均等度连续和平均敏感性这三方面内容的研究。具体而言：. 1. 在混沌集的刻画方面，我们将研究系统每个极大混沌集的基数一致的条件，处处第二纲的混沌集的存在性，Mycielski定理的动力系统对应版本并将它应用到迭代不变混沌集的研究中。. 2. 在正扑熵系统的复杂性方面，我们尝试发现正扑熵系统蕴含新的复杂性描述形式。. 3. 在平均等度连续和平均敏感方面，我们将研究一些特殊的简单动力系统类是否为平均等度连续的，还将研究多元形式的平均敏感性，注重于它与其它复杂性刻画之间的关联。. 项目的这些研究将有助于我们对拓扑动力系统复杂性理论相关问题有更深入的理解，尝试解决若干该研究领域的公开问题。

本项目主要研究拓扑动力系统复杂性理论及其相关问题，在混沌集的刻画、正拓扑熵系统的复杂性、平均等度连续和敏感性等方面按计划开展研究，取得了一些研究成果，较好地完成了预期目标，对理解拓扑动力系统复杂性起到了一定的推动作用。取得的具体研究成果如下：.1. 在拓扑动力系统中混沌集的刻画方面，我们建立了Kuratowski-Mycielski定理的“动力学版本”并应用于不变攀援集的构造；得到了具有广义碎轨性质的拓扑动力系统存在不变分布攀援集的判据；系统地研究了具有零拓扑熵的圆周映射和拓扑图映射的复杂性，证明了非分离偶对、序列熵对和非tame偶对是等价的，并且它们的存在性等价于Li-Yorke混沌。.2. 在正拓扑熵系统的复杂性研究方面，我们在C1光滑性的条件下证明了部分双曲系统具有半马蹄；证明了拟图映射具有正拓扑熵等价于具有半马蹄，拟图映射具有零拓扑熵等价于每个不变测度都具有离散谱，作为应用验证了Sarnak的Möbius不交性猜测对拟图映射成立；证明了正拓扑熵系统具有沿着这一组“好”序列的多重熊混沌集，作为应用，得到了正拓扑熵蕴含沿着多项式时间或素数平移时间的多元Li-Yorke混沌。我们还研究了满足给定动力学性质的区间映射构成的函数空间的拓扑性质，证明了拓扑熵大于给定实数的区间映射构成的空间和拓扑传递区间自映射构成的空间都同胚于标准的可分Hilbert空间。.3. 平均等度连续和敏感性研究方面，我们证明了一个拓扑图映射具有零拓扑熵当且仅当它是局部平均等度连续的，即限制在每个点轨道闭包的子系统上是平均等度连续的；系统地研究了拓扑动力系统和保测动力系统在三类度量（Bowen度量、极大平均度量和平均度量）下的有界复杂性，得到了它们与等度连续和离散谱之间的联系；通过研究极小系统到其极大等度连续因子的因子映射的性质，用纤维上的性质刻画了多种敏感性；引入一些弱的等度连续性质和强的敏感性，得到它们在弱混合系统中的刻画，二分定理和到极大远距因子的因子映射的性质。特别地我们得到了极小远距系统的新刻画，即一个极小系统是远距的当且仅当它是偶对式IP*等度连续的。