向量优化问题的非线性标量化相关研究及应用

In view of recent popular research topics and tendency for future development in vector optimization, we will specially devote ourselves to the nonlinear scalarization of vector optimization problems as well as its applications. The main tasks of this project are just on the discussion and study of the following aspects in vector optimization, which contain: firstly, by some level set and a suitable nonlinear function, the characterizations of generalized cone quasiconvexity of vector-valued maps and also set-valued maps will be obtained. We also hope to establish optimality conditions and scalarization conclusions for properly quasiconvex vector optimization problems; secondly, equivalence also unity between Gerstewitz functional and the biggest strictly monotonic function are to be introduced; thirdly, more good properties of the biggest strictly monotonic function together with Gerstewitz functional are expected to be presented, which could greatly contribute to the more process in vector optimization and related fields; fourthly, we want to provide the characterizations of cone superefficiency. Besides, new notion of proper efficiency may be introduced by cone-shaped neighborhoods , and its scalarization also be considered in the end. The completion of this project will not only be of critical importance to the study of vector optimization theory and its applications, but will also represent a significant advancement in set-valued analysis, nonlinear mathematical analysis and game theory.

本项目针对向量优化领域中的当前研究热点和今后发展趋势，围绕向量优化问题的非线性标量化展开研究，重点探讨和解决下面几个问题：第一，通过构造适当形式的水平集和选择合适的标量化函数给出向量值映射与集值映射的广义锥拟凸性及其刻画，同时建立恰当锥拟凸向量优化问题解的最优性条件及标量化刻画；第二，研究非线性标量化函数Gerstewitz泛函和△函数的等价性与统一性；第三，结合Gerstewitz 泛函和最大严格单调函数进行创新与挖掘，发现和揭示它们更多的良好性质，深化和扩展它们的应用；第四，实现锥超有效点的标量化，以及利用锥形邻域的概念引进新的真有效解并且标量化。本项目的实施和完成不仅对向量优化理论及其应用至关重要，而且在开展项目研究中所建立的新概念、新方法与新结果将会对相关的集值分析、非线性分析、对策论等的研究起到积极的促进作用。

非线性标量化方法通过将向量优化问题转化成通常的数值优化问题，是处理向量优化问题的重要和流行方法之一。非线性标量化函数Gerstewitz泛函即最小严格单调函数拥有包括非凸分离性质在内的众多良好性质。因此Gerstewitz泛函已被成功地应用到处理和解决向量优化领域中的各种问题，并取得了众多成果。项目的主要研究围绕Gerstewitz泛函和对应的最大严格单调函数的性质分析及应用展开。分析讨论了最大严格单调函数的若干基本性质并且给出该函数的对偶形式，并作为应用建立了对向量值映射的恰当锥拟凸性的刻画。然后，提出了一类新的向量值映射锥半连续的定义，并通过Gerstewitz泛函和最大严格单调函数得到了对向量值映射的锥半连续性完整统一的刻画。利用水平集和非线性标量化函数，建立了两种常见集合序关系下的恰当拟凸集值映射的相应刻画。将赋范线性空间中增广对偶锥的概念在两种情形下推广到局部凸空间上，然后讨论了它们的主要性质，并在合适的假设下建立了广义增广对偶锥非平凡的存在性条件。提出了集值映射的标量锥拟凸概念，讨论了它与各种锥凸性的关系， 然后对恰当锥拟凸性得到了某种水平集意义下的刻画。同时建立了集值映射的各种锥凸性通过实值单调增加凸函数表示的标量化法则，并给出了利用Gerstewitz泛函表示的对集值映射的锥拟凸性的标量化刻画。利用基泛函和增广对偶锥的概念，首次指出了范数、Gerstewitz泛函和面向距离函数等三种次线性函数均具有某种和基泛函相同的特性。然后在序锥存在有界基的假设下，通过借助增广对偶锥的结构，建立了这三种次线性函数在序锥上进一步在负序锥外的等价性。另外还证明了两种超线性函数同范数之间却并没有类似的等价关系。在拓扑向量空间的适当假设下，讨论了非线性标量化函数Gerstewitz泛函的若干性质，包括Gerstewitz泛函的非凸分离性质。同时建立了一种极小点集的子集与Gerstewitz泛函标量化问题的极小解集之间的对应关系。