向量优化问题近似解的标量化与对偶性研究

This project mainly focuses on the study of scalarization and second-order (higher-order) duality for approximate solutions in vector optimization problems, which contain: (1) Some new classes of generalized convexity will be proposed, and then linear scalarization for approximate solutions of vector optimization problems will be given by establishing alternative theorem; (2) Some new combined scalarization functions will be presented, and equivalent characterizations of approximate solutions in vector optimization problems can be established after studying the basic properties of these functions; (3) By exploring new properties of function Δ, nonlinear scalarization and optimality conditions for approximate solutions in vector optimization problems will be obtained; (4) Second-order and higher-order duality results are developed for vector optimization problems, especially strong duality theorems and converse duality theorems. The implementation and accomplishment of this project can promote the development of vector optimization theory and methods.

本项目针对向量优化问题的近似解，重点研究向量优化问题的标量化刻画和二阶（高阶）对偶性，主要内容包括：（1）提出新的广义凸性，通过建立择一定理给出向量优化问题近似解的线性标量化刻画；（2）提出新的混合型标量化函数，探讨其基本性质，并建立向量优化问题近似解的等价性刻画；（3）探究Δ函数的新性质，给出向量优化问题近似解的非线性标量化刻画和最优性条件；（4）研究向量优化问题的二阶和高阶对偶性，重点是建立强对偶定理和逆对偶定理。本项目的实施和完成可以促进向量优化理论与方法的进一步发展。

向量优化（也称多目标优化）是最优化的一个重要分支，它在工程、管理、交通等诸多实践领域中有着广泛应用。本项目围绕向量优化问题的标量化和对偶性展开研究，取得了一些列重要成果。部分代表性成果如下：（1）提出新的向量值映射广义凸性概念，研究了其基本性质，并运用到向量优化中，获得了局部解与全局解间的等价性以及解的唯一性结果。（2）深入研究了处理非凸向量优化问题的几类非线性标量化方法，建立了非凸向量优化问题（近似）解的标量化刻画，设计出求解向量优化问题的有效算法，为求解非凸向量优化问题提供理论基础。（3）探索了另一种处理向量优化问题的方法——等价转化，主要探究了在什么条件下原向量优化问题与转换后的向量优化问题间Geoffrion真有效解的等价性。（4）提出了一对新的向量型高阶对称对偶模型，通过引入新的高阶强锥伪不变凸性和高阶严格伪不变凸性，给出了弱对偶、强对偶和逆对偶结果。此外，对于不确定优化问题，利用鲁棒优化方法，提出了几类鲁棒型对偶模型，讨论了相应对偶结果。（5）研究利用邻近(C, ε)-次似凸性的基本性质，对向量优化问题的(C, ε)-Benson真有效解建立线性标量化结果，进而获得了Lagrangian乘子定理。（6）通过引入新的约束品性或正则性条件，利用次微分，建立了几类非凸非光滑优化问题（近似）解的最优性条件。