非线性标量化及其在向量优化问题中的应用

This project mainly focuses on the Gerstewitz function, which as a powerful tool of nonlinear scalarization is well-known in vector (multiobjective) optimization. With the development of vector optimization, current researches on the Gerstewitz function could not fully support the requirements in vector optimization. So it is very necessary and important to further exploit many useful properties of the Gerstewitz function with applications, also including its various modifications and generalizations. To study more properties and applications of the Gerstewitz function, it will concentrate on the following issues: (i) the key problems about the Gerstewitz function itself, such as the Lipschitz continuity, the strong monotonicity, and the Gerstewitz function with a variable domination structure; (ii) the application of Gerstewitz nonlinear scalarization on Holder continuity of solutions to parametric vector quasiequilibrium problems without convexity; (iii) the design of Newton-type methods for vector-valued optimization with the help of the Gerstewitz function, together with the feasibility and convergence analysis for the proposed algorithm under weak convexity. These researches will enrich and complete the properties and applications of the Gerstewitz function, thus develop related theory, methods and techniques of vector optimization. Furthermore, the outcomes of this project could be applied to multicriteria decision-making in the real world.

本项目以向量（多目标）优化领域中著名的非线性标量化工具- - Gerstewitz(简称G)函数为主要研究对象。随着向量优化研究的深入发展，G函数的现有成果已不能完全支撑研究需要，对G函数的更多有用性质开发和应用及其改进或推广也变得非常必要和迫切。围绕G函数的性质及其应用，我们的研究内容包括：（一）研究G函数当前存在和需要解决的关键问题：Lipschitz性和强单调性，以及变动控制结构下的函数构造及其性质；（二）借助G标量化技巧，在非凸框架下研究参数向量拟平衡问题的解映射的Holder连续性；（三）利用G函数辅助设计向量值优化问题的Newton型迭代方法，在目标映射弱凸性设置下对算法的可行性和收敛性进行分析。本课题研究将进一步完善和充实G函数的性质及其应用，从而丰富和发展向量优化研究的有关理论、方法与技巧，同时也为现实世界中广泛存在于各个领域的多目标决策提供必要的理论支持。

通过该项目的研究，我们取得了如下主要成果：研究了Gerstewitz函数的全局Lipschitz性，得到其Lipschitz常数等价的原始和对偶计算表达式；借助Gerstewitz函数和定向距离函数，利用非线性标量化方法在多种单调性假设下建立了非凸参数向量拟平衡问题单值解映射的Holder连续性新的充分性条件；经由Gerstewitz标量化在凹凸性假设下建立了参数向量平衡问题集值近似解映射的Holder连续性新的充分性条件；利用非线性标量化函数辅助设计向量值优化问题的Newton型迭代方法，在目标映射严格凸性下分析了算法的可行性和收敛性；引入向量值和集值映射一种新的严格伪单调性概念，利用线性标量化技术将其应用于参数广义（强）向量平衡问题、改进集意义下的参数向量平衡问题的半连续性研究；此外，对与课题紧密相关的其它衍生内容，如集序与集优化、随机变分不等式、鲁棒多目标优化等也展开部分研究，探讨并拓展非线性标量化在向量优化模型研究中的更多应用。研究结果发表于Optimization、Optim. Methods Softw.、Numer. Funct. Anal. Optim.、Applicable Analysis、Appl. Math. Comput.、Math. Methods Oper. Res.等主要学术期刊。众所周知，标量化是处理向量优化问题的重要且基本手段，本课题研究进一步完善和充实了Gerstewitz非线性标量化函数的性质及其应用，从而丰富和发展了向量优化研究的有关理论、方法与技巧，也为非线性标量化在向量优化领域提供了更多应用途径。