向量优化问题统一解的Gerstewitz非线性标量化研究

This project mainly focuses on nonlinear scalarization characterizations of unified solutions for vector optimization problems by Gerstewitz nonlinear scalarization function.The main contents including as: Some unified nonconvex separation theorems based on Assumption B and Gerstewitz nonlinear scalarization function in the sense of generalized interiors and some special cases via improvement sets; Some new properties of Gerstewitz nonlinear scalarization function in the sense of generalized interiors and nonlinear alternative theorems based on Gerstewitz nonlinear scalarization function; Some unified solutions of vector optimization problems in the sense of generalized interiors and nonlinear scalarization characterizations of solutions based on unified nonconvex separation theorems and nonlinear alternative theorems; Relations between robust solutions and approximate robust solutions of multiobjective programming problems and optimal solutions and approximate robust solutions of nonlinear scalarized problems via Gerstewitz nonlinear scalarization function, and algorithm for robust solutions of multiobjective programming problems.The accomplishment and implementation of this project not only promote the development of vector optimization theory and methods,but also some new methods, techniques and research results proposed in this project also will be positive to the development of some fields in mathematics such as nonlinear analysis etc.

本项目重点研究基于Gerstewitz非线性标量化函数的向量优化问题统一解的非线性标量化性质，主要内容包括广义内部意义下基于假设B和Gerstewitz非线性标量化函数的统一非凸分离定理以及改进集等条件下的一些特殊形式；各种广义内部意义下Gerstewitz非线性标量化函数的一些新性质以及基于Gerstewitz非线性标量化函数的非线性择一性定理；广义内部意义下向量优化问题的统一解形式以及统一非凸分离定理和非线性择一性定理下解的非线性标量化性质；多目标优化问题的鲁棒解与近似鲁棒解和基于Gerstewitz非线性标量化函数的非线性标量化问题最优解与近似最优解之间的关系以及求解多目标优化问题鲁棒解的算法。本项目的实施和完成不仅能够促进向量优化理论与方法的进一步发展，而且本项目研究中发展起来的一些新的方法、技巧和研究结果对促进数学中的非线性分析等领域的发展也将起到积极作用。

项目主要研究成果包括：（1）基于改进集、代数内部和向量闭包等提出了集值映射的邻近Ｅ-次似凸性，并在邻近E-次似凸性假设下建了相应的择一性定理、线性标量化结果和拉格朗日乘子定理；在序锥的相对代数内部和相对拓扑内部非空条件下研究了 free disposal 集的广义内部性质，建立了相应弱有效解的线性标量化结果。（2）利用 Gerstewitz 非线性标量化函数建立了广义内部下基于凸锥和假设B的非线性分离定理，获得了相应弱有效解的非线性标量化性质；综述了向量优化统一解发展现状和统一解性质研究的重要进展，提出了一些公开问题；提出了向量优化问题的统一严有效性，建立了相应的线性与非线性标量化结果。（3）利用广义 Tchebycheff 范数提出新的标量化模型，建立了各类解的完全标量化结果；利用Clarke方向导数下的线性化锥建立了非光滑多目标优化问题一类鲁棒有效解的最优性充分条件，利用标量化方法建立了鲁棒弱有效解的充要条件与鲁棒有效解的充分条件。（4）在保留点的多样性和减少计算复杂度方面进行改进，提出了改进的多目标基因算法；基于线性加权标量化提出了多目标优化的一类非线性标量化方法；通过提出新的种群生成器提出了新的非支配排序算法；多代理网络上的分布式优化问题、时变多代理网络的非凸分布优化问题和分布式在线学习优化问题的求解算法；具激励机制评价问题的多目标建模与分析；可持续物流选址的多目标建模与分析；基于多目标极大极小化标量化的有限角CT图像重建。.本项目发表论文26篇，接受2篇，其中2篇发表在《中国科学：数学》，24篇发表在《Pacific Journal of Optimization》等重要期刊。负责人增列为兼职博士生导师，主研国家自然科学基金重大项目课题“多目标优化问题的机器学习方法”（排名第二）、获批国家自然科学基金数学天元基金随机优化专题讲习班和重庆市高校创新研究群体项目，当选中国运筹学会和中国系统工程学会理事；成员中 1人晋升教授， 2人晋升副教授；培养硕士毕业生13人，考取博士4人。