测地流的动力学研究

Geodesic flow is an important and active research field in dynamical systems and Riemannian geometry. In this project we will mainly study the dynamical aspects of geodesic flows on closed Riemannian manifolds, i.e., compact Riemannian manifolds without boundary. The research involves the theory of dynamical systems, ergodic theory and Riemannian geometry. More precisely, we will study the following problems: 1) Liouville integrability of geodesic flows, geometrical and topological obstructions to Liouville integrability of geodesic flows; 2) topological entropy and fractional monodromy of Liouville integrable geodesic flows; 3) positivity of Liouville measure-theoretic entropy and entropy-expansiveness of geodesic flows. We pose a series related research questions, and some of them have not yet appeared in the literature. Answers or partial answers to these questions will help researchers to get a more comprehensive understanding of the dynamics of geodesic flows and will play an active driving role of the development of related subjects.

测地流是动力系统和黎曼几何理论中的一个重要研究课题。本项目将重点研究紧致、无边界的黎曼流形上的测地流的动力学性质，涉及到动力系统、遍历论和黎曼几何等多个领域。具体为：1) 测地流的Liouville可积性及可积性的几何和拓扑障碍；2) Liouville可积测地流的拓扑熵和分数单值矩阵；3) 测地流的Liouville测度熵的正性和熵可扩性。我们提出了一系列彼此相关的研究问题，其中有些观点尚未见诸文献。这些问题的解决或者部分解决，将会使研究者们对测地流的动力学有更全面的认识，也能对多个相关学科的发展起到一定的推动作用。

测地流系统是非常重要的一类微分动力系统，它的动力学理论在当代微分动力系统的理论体系中占有举足轻重的地位。对测地流及其动力学的研究是随着黎曼几何的产生而出现，又随着现代微分几何和动力系统理论的快速发展而迅速兴盛繁荣起来的。现今，测地流的动力学理论已成为融合了现代微分几何理论、微分动力系统及哈密顿动力学理论、遍历论、辛几何与辛拓扑等多个领域的，非常前沿的交叉学科。..本项目旨在研究测地流的动力学性质。在本研究项目的实施过程中，我们在测地流（乃至包含范围更为广泛的哈密顿系统和拉格朗日系统）的动力学的诸多方面取得了一系列的研究成果。具体来说，我们证明了下述结论：无焦点流形和有界渐近流形的测地流是熵可扩的；无共轭点的高亏格曲面的测地流是熵可扩的；负曲率连通分支有限的无焦点高亏格曲面的测地流关于Liouville测度是遍历的；若曲面的基本群指数增长，则其上的 Tonelli 拉格朗日系统限制在任一大于临界值的等势面上的拓扑熵大于零；无焦点曲面满足对偶性条件等；完成了专著《测地流的动力学》的初稿。..为了得出这些结论，我们融合了微分动力系统、哈密顿系统、Mather 理论、遍历论、黎曼几何、Finsler 几何等多个学科的方法与技巧，发展出了若干有待进一步深入研究的技巧和想法，提出了一些重要的研究问题，大大加深了我们对测地流的动力学的理解，为进一步的研究提供了新的想法和技术支持。