黎曼流形上p拉普拉斯算子的若干问题研究

The first eigenvalue of the p-Laplace operator has been extensively studied in recent mathematical literature. It has emerged in a variety of mathematical and physical fields, such as nonlinear elasticity, glaciology and so on.. First, we shall investigate the eigenvalue of weighted p-Laplace operator under geometric flows coupled with the suitable evolution of weighted function and show some monotonic geometric properties about this eigenvlalue.. Second, the gradient estimates of the p-Laplacian Lichnerowicz equation are very important in Mathematics and Physics. This equation arises from the Hamiltonian constraint equation for the Einstein-scalar field system in general relativity. We shall study the gradient estimates for the solutions to this equation and compute Harnack inequality and Liouville theorems. We also expect the gradient estimates have some applications in the Einstein-Scalar field.

关于p-拉普拉斯算子的研究一直是一个热点, p-拉普拉斯算子已经出现在各种各样的数学以及物理领域中，比如数学物理领域中的流体力学，非线性弹性力学，冰川学等。. 在本项目中，首先，我们考虑几何流下带位势函数的p-拉普拉斯算子的特征值，在位势函数合适的发展方程下，我们将探索几何流下此特征值的单调性以及一些几何性质。. 其次，流形上含有p-拉普拉斯算子的椭圆和抛物型Lichnerowicz方程的梯度估计在数学物理上有重要的意义，Lichnerowicz方程是广义相对论中爱因斯坦数量场系统的Hamilton限制方程，我们将研究p-拉普拉斯Lichnerowicz方程解的梯度估计，给出相应的Harnack不等式以及Liouville定理，并探索此梯度估计在爱因斯坦数量场中的应用。

关于p-拉普拉斯算子的研究一直是一个热点, p-拉普拉斯算子已经出现在各种各样的数学以及物理领域中，比如数学物理领域中的流体力学，非线性弹性力学，冰川学等。在本项目中, 流形上含有p-拉普拉斯算子的椭圆和抛物型Lichnerowicz方程的梯度估计在数学物理上有重要的意义，Lichnerowicz方程是广义相对论中爱因斯坦数量场系统的Hamilton限制方程，我们研究了p-拉普拉斯Lichnerowicz方程解的梯度估计，给出了相应的Harnack不等式以及Liouville定理，并探索了此梯度估计在爱因斯坦数量场中的应用。. 在本项目中，我们得出了在完备非紧流形上与p-拉普拉斯有关Lichnerowicz方程的梯度估计，给出了在某些曲率条件下方程正解的的梯度估计，得到了在截面曲率以及Ricci曲率有下界的情况下方程正解的梯度估计以及相应的Liouville定理。除此之外，给出了只在Ricci曲率有下界的条件下此方程正解的梯度估计，得出相应地Harnack不等式。