流形上拉普拉斯算子谱及相关问题研究

Spectral properties of differential operators have been the subject of extensive research in geometric analysis. This project focuses on spectral of the Laplace operator on Riemannian manifolds and related problems. ..This project will investigate comparison inequalities of eigenvalues of the Laplace operator on manifolds, including Cheng type, isoperimetric type and PPW type inequalities. We will start with Riemann surfaces, and then consider general Riemannian manifolds and the applications in geometric flows. The study of such inequalities not only completes the theory of spectral operators on manifolds, but also provides new tools for studying geometric analysis. In this project, we will also consider the estimates of modulus of continuity of viscosity solutions for general nonlinear parabolic equations. Such estimates, of more geometric meaning and perspective, allow us to obtain eigenvalue inequalities by estimating modulus of continuity, and at the same time, establish gradient estimates for studying regularities of parabolic equations. ..Besides, the project will also examine the geometric properties of eigenfunctions, such as the location of extremes of eigenfunctions, the relation between curvature and eigenfunction on Riemann surfaces and so on. These problems are of great significance in the study of geometry via PDEs.

拉普拉斯算子谱是几何分析中重要的工具和研究对象。本项目主要讨论黎曼流形上的特征值及相关的问题。..本课题将研究流形上 Laplace 算子特征值的比较不等式，包括 Cheng 型、等周型、PPW 型不等式，这里将先讨论黎曼面的情形，进而考虑一般的黎曼流形以及在几何流中的应用。这类不等式的研究不但可以完善流形上谱算子理论，也会为几何分析的研究增添新的工具。在此项目中我们也将考虑一般非线性抛物方程黏性解连续性模的估计。该研究更具有几何意义和前瞻性，因为通过连续模估计我们既可以得到特征值不等式，同时也可以建立梯度估计，从而应用于抛物方程正则性的研究。..此外，本课题还将研究特征函数的几何性质。例如，特征函数极值点的位置，黎曼面上特征函数与曲率关系等几何问题。这类问题也是用 PDE 研究几何的重要内容。

本项目主要研究了几何分析中关注较多的问题：黎曼流形上拉普拉斯算子特征值以及几何流的相关问题。.. 在谱理论研究方面，本项目讨论了一般流形上的Szego-Weinberger型不等式，得到了第一个非零的Neumann特征值的上界估计；同时对紧致（或者带有Neumann边界）的流形，我们用椭圆方法，重新证明了其最优的下界。此外我们还研究了一类黎曼流形上的抛物型frequency的单调性，将C.Poon和L.Ni的结果做到了更一般的流形上，同时也得到了在Ricci流下一个相关的特征值估计。.. 本项目还研究了Ricci流和高斯曲率流相关的问题。我们证明了4维完备梯度型收缩性Ricci孤立子如果满足迷向曲率为正时，则它只能是4维球面或者柱形 S^3*R，以及他们的quotients。这个结果去掉了之前分类结果的一些额外的曲率条件，是最优的分类结果。 对于了 次a的高斯曲率流，本项目研究了该曲率流的无穷远渐近性态，将Oliker在1991年的工作推广至更一般的高斯曲率流。.. 本项目的研究成果丰富，完善了目前黎曼流形上椭圆算子特征值比较的理论，同时也解决了当下几何分析中大家关注的问题，如Ricci孤立子的分类问题。本项目的研究成果为后续的研究提供了有力的工具，同时本项目的研究方法比较新颖，在后续的研究中都有很多的应用。.. 本项目在国际知名期刊上发表SCI论文5篇，同时在所研究的领域内取得比较重要的研究成果。