凯勒流形上的Weitzenbock算子及Hodge拉普拉斯热方程

This proposal is concerned with the Weitzenbock curvature operator and the extension of gap theorem to (p, p) forms on a Kaehler manifold. Some analytic results for the Harnack estimate of Hodge Laplacian heat equation have been proved by the applicant and Prof. Lei Ni, and we also got some consequences of the relation between the positivity of Weitzenbock curvature operator and that of curvature operator. In this project we will emphasize on the analytic method in our research on both properties of Weitzenbock curvature operator and the analytic and geometric consequences of the Harnack estimate. We will study the following problems: (1) the orthogonal decomposition of Weitzenbock curvature operator; (2) the connection between the positivity of Weitzenbock curvature operator and the geometry of manifold; (3) Harnack estimates of the Hodge Laplacian heat equation on a Kaehler manifold with boundary; (4) extension of the gap theorem to (p, p) forms on a Kaehler manifold.

本项目我们将深入研究凯勒流形上作用在(p,q)形式上的的Weitzenbock曲率算子，以及与(p,p)形式相关的gap 定理。 申请者和倪磊教授研究了凯勒流形上的Hodge拉普拉斯热方程，并且我们已经得到了一些关于Hodge拉普拉斯热方程解的Harnack估计等一些分析结论及Weitzenbock曲率算子正性与曲率算子正性之间的关系。本项目中，我们将主要应用分析手段去深入研究Weitzenbock曲率算子的性质及Hodge拉普拉斯热方程解Harnack估计在流形分析和几何方面的应用。我们拟研究如下问题： （1） Weitzenbock曲率算子的正交分解； （2） Weitzenbock曲率算子的正性与流形的几何之间的联系； （3） 带边凯勒流形上Hodge 拉普拉斯热方程解的Harnack 估计； （4） 凯勒流形上与(p, p)形式相关的gap 定理。

凯勒流形上作用在(p,p)形式上的 Weitzenböck曲率算子及Hodge 拉普拉斯热方程的解蕴含着丰富的分析、几何和拓扑的结果。本项目主要是探讨凯勒流形上 Weitzenböck曲率算子的性质及Hodge拉普拉斯热方程解满足的Harnack估计的应用。我们主要研究了关于 Weitzenböck 曲率算子正性与流形几何之间的关系。不仅得到了 Weitzenböck曲率算子为正时, 流形的标量曲率一定非负, 而且还证明了流形的 Ricci 曲率一定满足某种不等式。另外还得到了在满足一定曲率条件的凯勒流形上, (p, p)形式解的r-正性保持且该解满足一族微分Harnack估计。在研究具体流形例子时，发现了Cartan-Hartogs域和复欧式空间之间不存在全纯同构的凯勒子流形。