复Hessian方程的边值问题

本课题拟深入研究复Hessian方程几类边值问题解的存在性、正则性以及渐近性。应用偏微分方程、多重位势理论、复几何以及几何分析的思想和方法，在有界区域上证明复Hessian方程Dirichlet边值问题解的存在性；在有界光滑严格拟凸域上讨论其Neumann边值问题解的存在性；进一步地，通过探讨复Hessian方程的内部正则性得到边界爆破问题解的存在性、渐近性质。复Hessian方程解的存在性,渐近性理论是研究复Hessian方程极其重要的性质，深入研究该方程解的适定性，可以进一步了解多复变中区域的分类、Calabi猜想等几何问题，也可以丰富完全非线性偏微分方程的理论。

本课题深入研究复Hessian方程几类边值问题解的存在性、正则性。应用偏微分方程、多重位势理论、复几何以及几何分析的思想和方法，在有界区域上证明了几类复Hessian方程边值问题解的先验估计，进一步得到这些问题解的存在性、正则性等性质。特别地，在讨论梯度估计的过程中，我们采用了三种不同的方法：一是先假设梯度估计存在的前提下得到二阶导数估计，再利用插值不等式得到梯度估计；二是通过构造辅助函数将整体约化到边界再分类讨论边界估计；三是先得到内部估计然后构造辅助函数讨论其在边界，近边，以及内部的估计从而得到梯度估计。复Hessian方程解的存在性理论是研究复Hessian方程极其重要的性质，深入研究该方程解的适定性，可以进一步了解多复变中区域的分类、Calabi猜想等几何问题，也可以丰富完全非线性偏微分方程的理论。