单入射波反散射问题的新数值算法研究

One classic problem in inverse scattering theory is to reconstruct scatterers from the measured scattered field or far field. Researches on this problem are the theoretical foundation of many applications, such as nondestructive testing and radar/sonar applications. Many existing methods require scattered field or far field data for many incident waves, while in many applications, we can only measure scattered field or far field data for a single incident wave. How to reconstruct scatterers with few data? That is the problem we are interested in. So in this project, we will consider the following inverse scattering problem: Reconstructing the unknown scatterers from the far field for a single incident wave. Since few numerical methods for this inverse problem are available, new numerical methods should be proposed. We aim at (1) Proposing some novel sampling methods for the inverse scattering problem with theoretical analysis and numerical experiments; (2) Improving the sampling method to more cases and presenting more numerical methods. Researches on this project have important theoretical and practical significance. Some numerical examples show that our project is feasible.

对散射体发射入射波，通过接收到的散射波重构散射体，这是反散射理论中的经典问题，也是无损探测、雷达探测等应用领域的理论基础。关于该问题的许多研究成果都是在已知入射波较多，接收到的散射波或远场信息也较多的情况下进行的。然而在许多实际问题中，只能获得一个入射波下的散射波或远场信息，如何利用有限的已知条件重构散射体？它是本项目将考虑的问题。具体地说，本项目研究的反问题是：利用单一入射波下的远场，在未知散射体物理性质的情况下，重构散射体。目前对这一反散射问题的研究较少，亟待提出一些新的算法。本项目的目标是（1）为这种反散射问题设计新的采样算法，完善其理论分析和数值实验；（2）在此基础上推广和探索更多的数值算法。本项目的研究具有重要的理论和实际意义。初步实验结果表明了本项目的可行性。

反散射问题研究是无损探测、医疗成像等应用的研究基础。在本项目中，我们考虑了一种特殊的反散射问题，即利用未知散射体在单入射波下无穷远处的散射场（也称为远场），重构散射体的位置和形状。对这一反问题的理论和数值研究较少，也因其已知信息较少而使得研究较为困难。本项目中我们对该反问题提出了一种新的数值算法（Extended Sampling Method，简称为ESM方法），该方法可有效地探测未知散射体的位置，我们还探索了求解该类问题的迭代算法，以有效重构散射体形状。除此以外，项目组还考虑了利用近场数据重构Stekloff等特征值的特殊反散射问题，这些新近被提出的特征值对无损探测中材料的变形破裂等情况感应灵敏且抗噪，有较好的应用前景，项目组提出了新的有效数值算法来重构这类特征值。总体而言，本项目为单入射波反散射问题的进一步研究提供了新的思路，也为和反散射问题相关的新型特征值问题提供了有效的解决方案。