声波入射弹性体散射与反散射问题理论与数值算法研究

Inverse acoustic scattering problem by an elastic obstacle has many applications, and it arises in many areas of science, such as resource exploration, mineral prospecting. This project studies the inverse scattering problems based on the Cauchy data for the 2D inverse elastic scattering problem by acoustic waves. This model is espscially used in the detecting the resource in the ocean. With regard to the Cauchy problem, we consider to obtain the scattering field using the integral equations method, which is popular in engineering over the years. We approximate the solution by the elastic potential function, whilst give a direct integral equation method for solving the Cauchy problem. For the inverse boundary determination problem, we try to recover the elastic boundary using the measured Cauchy data on the curve. On one hand, we try to recover the boundary by optimization techniques and linear sampling methods, etc. On the other hand, we will explore the uniqueness of the inverse scattering problem according to the numerical performance that the outline of the boundary can be recovered from the Cauchy data. Not only these studies will enrich the mathematical theories for inverse scattering problems, but also be applied well in practice.

声波入射弹性体所产生的散射现象在能源、矿物探测过程中有许多重要应用，尤其是应用在海洋中资源的勘探问题模型中。本项目针对 2D 声波入射弹性体散射与反散射问题，研究以 Cauchy 数据为基础的反问题。对于 Cauchy 问题，考虑使用近年来工程中流行的积分方程方法求解散射场。利用位势函数近似问题的解，构造有效的积分方程方法求解 Cauchy 问题。对于弹性边界反演问题，考虑从弹性体外部可测曲线上的 Cauchy 数据直接重构弹性体的形状：一方面，研究使用优化方法、线性抽样法等反演弹性体边界；另一方面，针对实际测量中所遇到的困难——仅知道缺失的 Cauchy 数据——研究此类反问题的唯一性。这些研究不仅能进一步丰富反散射问题的数学理论，同时也将在实际中得到很好的应用。

声波入射弹性体所产生的散射现象在能源、矿物探测过程中有许多重要应用，尤其是应用在海洋中资源的勘探问题模型中。本项目研究了声波为基础的Helmholtz方程、弹性力学Cauchy Navier方程、热传导方程Cauchy问题以及声波入射弹性体问题。声波入射弹性体模型本质上是分层介质问题，首先研究了简单的声波散射分层介质模型，对这种模型散射问题提出了基于Fourier-Bessel函数、倏逝波、基本解的方法，通过引入关于函数值和法向导数值得一个匹配误差泛函，提出了一种最小二乘方法，通过求解泛函的极小值得到解的展开系数，然后通过确定展开系数得到问题的解，证明了方法的收敛性，最后我们证明了匹配泛函是指数收敛的；其次，对于Cauchy-Navier方程提出了基本解方法，验证了方法的有效性和稳定性；最后，把这两个问题结合起来提出了耦合问题的基本解方法。