腔体反散射问题的理论与数值反演算法研究

The research on inverse scattering problems in acoustics and electromagnetism is one of the most important research topics in the area of the inverse problems for mathematics and physics. The inverse scattering problem for cavities is a relatively new research subject, which has important applications in the nondestructive testing area, such as the nuclear power production and so on. In this project, based on the mathematical models for the Helmholtz and Maxwell equations, we will consider the shape and parameter identification problems for cavities which located in homogeneous or inhomogeneous mediums. These inverse problems are not only nonlinear but ill-posed, namely, a small perturbation on the measurement data will result a large error in the solution such that the numerical solution can not reflect the real situation, thus it makes the numerical computation very difficult. In the following, we will present the uniqueness theory and construct the stable and fast numerical inversion algorithms. The aim is to obtain efficient and stable inversion algorithms, and provide the important theoretical basis and application foundation for the real problems.

声学和电磁学中的反散射理论是数学物理反问题中的一个重要研究方向，而腔体反散射问题是其中的一个新兴研究课题，它在核电生产等无损探伤领域中具有非常重要的应用价值。本项目主要以Helmholtz方程(组)和Maxwell方程(组)为模型，研究腔体在均匀介质和非均匀介质中的形状反演和参数辨识问题。该类问题不仅是非线性的，而且是不适定的，即测量数据的微小扰动将导致反演结果的巨大偏差，甚至完全不能反映真实情况，从而给数值计算带来极大的困难。针对该类问题，本项目拟从两方面对其进行研究：一方面研究形状和参数辨识问题的唯一性理论；另一方面研究快速稳定的数值算法。本项目研究的目标旨在获得高效稳定的反演算法，从而为实际问题的解决提供重要的理论依据和应用基础。

本项目主要围绕着散射体的形状反演和参数辨识问题以及稳态散射场的重构问题展开了研究，这类问题在无损探伤、医学成像等领域具有重要的应用背景。该类问题都具有不适定的特性，数值求解具有很大的难度。为了获得该类问题稳定的近似解，在项目研究过程中我们针对具体的问题构造了稳定有效的反演算法，并对算法的有效性作了必要的理论研究和具体的数值模拟。取得的主要研究结果具体包括：以Helmholtz方程为模型应用积分方程理论结合迭代算法反演了腔体在均匀介质中的形状和系数；针对散射体在非均匀介质中的形状重构问题和不同介质间界面的辨识问题，我们以Helmholtz方程组为模型应用采样型方法对其进行了反演，取得了比较理想的研究结果；以Helmholtz方程为模型研究了散射体的源辨识问题，考虑应用信赖域等优化算法确定了物体内部包含物的个数、位置、大小和形状等信息；研究了稳态散射场的重构问题，针对该类问题我们构造了两种不同的正则化方法，得到了稳定的收敛性估计。总的来说，课题组采用了理论分析和数值模拟有机结合的方法进行了研究，取得了比较理想的研究结果，完成了该课题的研究任务。通过本项目的研究，我们获得了稳定高效的反演算法，为实际问题的解决提供了重要的理论依据和应用基础。