正倒向系统相关的偏微分方程与随机控制问题

This research program concerns partial differential equations and stochastic optimal control problems of forward-backward systems based on the theory of backward stochastic diferential equations. We study second order quasilinear partial differential equations and obstacle problems for quasilinear partial differential equations with non-Lipschitz coefficients. Existence and uniqueness as well as probabilistic interpretation of the Sobolev weak solutions will be obtained. We also study stochastic optimal control problems of forward-backward systems involving impulse controls by maximum principle as well as dynamic programming principle, and applications in mathematical finance will be also investigated. This research program is of significant value both in theory and in practice. The results will not only generalize the celebrated nonlinear Feynman-Kac formula and enrich the theory of weak soution of partial differential equations, but also enrich the theory of stochastic optimal control. Moreover, they will also be meaningful supplementary for the theory of backward stochastic differential equations.

本项目旨在以倒向随机微分方程理论为工具研究与正倒向系统相关的偏微分方程与随机最优控制问题。考虑几类带非Lipschitz系数的二阶拟线性偏微分方程以及拟线性偏微分方程的障碍问题，研究其Sobolev弱解的存在唯一性并给出概率解释。分别用动态规划原理和最大值原理研究带脉冲控制的正倒向系统的随机最优控制问题，并且探讨理论结果在金融优化等问题中的应用。本项目研究不仅有重要的理论意义，也有重要的应用价值。研究结果将不仅能推广非线性Feynman-Kac公式，丰富偏微分方程的弱解理论，还能丰富随机控制理论，并且对倒向随机微分方程理论的研究也是有意义的补充。

倒向随机微分方程理论在随机控制、金融数学、偏微分方程等领域都有重要的应用。本项目旨在研究倒向随机微分方程理论本身的发展以及它在随机控制、偏微分方程等领域的应用。. 研究了带状态约束的随机延迟系统的最优控制问题，用最大值原理方法建立了最优控制满足的必要条件和充分条件。研究了带跳的倒向重随机系统的最优控制问题及部 分信息下的倒向重随机系统的最优控制问题，建立了最优控制满足的必要条件和充分条件。研究了带连续-奇异控制的正倒向系统的随机最优控制问题，其中连续控制域为非凸集合且正向系统的扩散项含有控制变量。借助松弛控制的方法在一定条件下得到了最优控制满足的必要条件和充分条件。. 引入了一类超前倒向重随机微分方程，证明了解的存在唯一性，并给出了一维情形下的几类比较定理。研究了一类带非Lipschitz系数的超前倒向随机微分方程，给出了一维情形下的几类比较定理。. 研究了一类平均场正倒向重随机微分方程，在单调性条件下证明了解的存在唯一性，并给出了一类带有代数方程的非局部随机偏微分方程的解的概率解释。. 本项目研究丰富了倒向随机微分方程理论在随机控制、偏微分方程领域的应用，对倒向随机微分方程理论本身的发展也是有益的补充。