无限维正倒向随机系统: 理论与应用

Based on a general form of infinite dimensional Hamiltonian systems, this project aims to develop a fundamental theory for forward-backward stochastic partial differential equations and investigate its important applications in economics and finance. Stochastic partial differential equations have been widely regarded as a powerful tool for describing complex systems and received extensive studies in the international academic community. The associated infinite dimensional Hamiltonian systems, in the form of coupled forward-backward stochastic partial differential equations, is not only central to understand and deal with infinite dimensional stochastic control, but also a topic of research value in its own right. This project seeks to develop a comprehensive theory for forward-backward stochastic evolution systems and their applications, starting from an abstract framework and proceeding to specific forms. The specific goals are as follows: (1) develop a basic theory for abstract forward-backward stochastic evolution equations, including the existence, uniqueness and regularity of the global solutions; (2) establish the existence, the maximum principle and the verification theorem for optimal control and near-optimal control of forward-backward stochastic partial differential equations, and apply the results to linear quadratic control and stochastic differential games; (3) investigate the optimal investment-consumption problem and mean-variance portfolio selection under the conditions of model uncertainty and time delay, and give explicit characterizations of optimal portfolios.

本项目以一般形式的无限维随机Hamilton系统为主要背景，研究和发展具有一般形式的正倒向随机偏微分方程的基本理论与其在经济金融等其他领域中的重要应用。随机偏微分方程作为描述复杂系统的一个有力工具，已得到国际学术界的广泛认可和深入研究，相应的Hamilton系统是一组耦合的正倒向随机偏微分方程，既是认识和处理无限维随机控制的核心工具，也是具有独立研究意义的课题。本项目将采取从抽象到具体的研究思路，深入探讨无限维正倒向随机发展系统的一般理论及其应用。具体研究目标为：(1)发展抽象型正倒向随机发展方程的基本理论，其中包括全局解的存在唯一性和正则性；(2)建立正倒向随机偏微分方程最优控制和近最优控制的存在性、最大值原理和验证定理，并应用于线性二次最优控制问题和随机微分对策问题研究；(3)研究在模型不确定性和时滞条件下的最优投资消费问题和均值方差投资组合问题，给出最优投资组合的显式刻画。

本项目针对随机最优控制理论及其金融工程实际应用方面的一些重要问题开展了创新性研究， 充分利用无穷维随机分析技术和随机最优控制理论，突破相关瓶颈，重点发展和完善了无限维随机发展系统的适定性理论及其最优控制理论问题中的应用，取得了一系列突破性研究成果，并解决了随机控制理论中两个重要的公开问题：一是系统研究了具有随机系数的带跳的线性二次(LQ)最优控制问题，建立了相应的带跳的倒向随机Riccati方程解的存在唯一性理论；二是建立了完全耦合的FBSDEs的L^p全局解的存在唯一性理论。本项目的研究成果进一步推动了随机系统的若干前沿问题和难点问题的研究，取得了突破性进展，并形成一些新的理论方法及实践应用，取得了一系列处于国际前沿的理论成果、有望继续推动随机控制理论和博弈理论及金融经济学等交叉学科的发展。