超可积系统中的若干问题

The study of the Kuperintegrable system is an increasing interested topic in mathematical physics field because of the importance of supersymmetry in physics and the wonderful algebraic and geometrical properties holding by the fermionic extension equations from classical integrable equations. In this project, we shall discuss the constructions of Kuperinteger systems and the corresponding integrable properties: We will study the Euler equations related to the polynomial Neveu-Schwarz algebra and the looped cotangent Neveu-Schwarz algebra at first; Next the analogous Kuperschmidt-Wilson Theorem of KuperGelfand-Dickey hierarchy will be studied; Finally we will construct the Kuperintegrable hierarchies with selfconsistent sources by adding additional items on the Lax operators.

由于超对称在物理中的重要性及经典可积方程的费米子扩展方程依然拥有美妙的代数几何性质，超可积系统的研究成为当前数学物理研究领域中的一个热点课题。本项目主要研究超可积系统的结构及其相关的可积性质：首先，研究与多项式Neveu-Schwarz代数和圈余切Neveu-Schwarz代数相关的欧拉方程；其次，研究关于超Gelfand-Dickey系列的类Kuperschmidt-Wilson定理；最后，拟通过在谱问题中的算子上添加附加想构造含自相容的超可积系列。在此需要说明的是Kuper-case是费米子化的可积系统，它不具有超对称不变性而Super-case是具有超对称性的可积系统。

本项目我们主要研究了经典可积系统的超化问题及其超化之后得到的新系统相关的可积性质，如双超哈密顿结构和Lax对等。我们通过Kupershmidt变换给出一个mixed Kuper-CH-HS方程，mixed Kuper-CH方程、mixed Super-HS方程和mixed Kuper-HS方程，并研究其可积性质。 我们基于扩展的李超代数和超迹恒等式构造了广义超AKNS孤子方程族的超可积耦合及其超Hamilton结构。同时我们用 Riemann-Hilbert方法研究了二阶矩阵谱问题 Kundu-Eckhaus方程的初边值问题，并用 Riemann-Hilbert方法分析了两类三阶矩阵谱问题可积方程（耦合 HNLS方程和耦合 MNLS方程）的初边值问题和两类四阶矩阵谱问题可积方程（二分量 MKdV方程和可积相干耦合NLS方程）的初边值问题。此外，我们还研究了耦合三次—五次NLS方程和高阶CLL方程的初边值问题。近期，我们还用 Riemann-Hilbert方法对Kundu方程在半直线、有限区间上的初边值问题做了研究。