套子代数的Hochschild上同调及套的分类

In the project, we mainly study Hochschild cohomology of nest subalgebras and classification nests in factor von Neumann algebras. Base on the theories of Haagerup tensor product and operator space, applying Stinespring representation theorem, we give the structures of completely bounded n-cocycles and completely bounded modular linear maps on nest subalgebras of factor von Neumann algebras, and then solve their completely bounded Hochschild cohomology groups. From the study of the relation between completely bounded Hochschild cohomology groups and bounded Hochschild cohomology groups, we obtain bounded Hochschild cohomology groups of nest subalgebras of factor von Neumann algebras, and discuss the stablity of algebraic structures of nest subalgebras of von Neumann algebras. Base on the study of one-order Hochschild cohomology groups of nest subalgebras with coefficients in the compact ideal relatived to a type Ⅱ infinite factor von Neumann algebra, we find a characterization of relative compact perturbation of two nests in the factor von Neumann algebra, build the relation between relative compact perturbation and approximately unitarily equivalence as well as similarity of nests in a type Ⅱ infinite factor von Neumann algebra，and then obtain a characterization of similarity of nests in a type Ⅱ infinite factor von Neumann algebra．We wish the present project can enrich the theory of nest subalgebras of von Neumann algebras, and can bring active effect for non-self-adjoint operator algebras.

本项目主要研究因子von Neumann代数中套子代数的Hochschild上同调及套的分类问题。以Haagerup张量积和算子空间理论为基础，利用Stinespring表示定理，给出完全有界 n-上循环和完全有界模线性映射的结构，解决套子代数的完全有界Hochschild上同调群。通过完全有界与有界Hochschild上同调群之间关系的研究，得到套子代数的有界Hochschild上同调群，并应用于其代数结构的稳定性研究之中。以Ⅱ无限型因子中套子代数到其相对紧理想的一阶Hochschild上同调群的研究为基础，探讨Ⅱ无限型因子中套的相对紧扰动的特征，建立套的相对紧扰动与近似酉等价以及套的相似性之间的关系，进而获得Ⅱ无限型因子von Neumann代数中套的相似分类的特征。通过本项目的研究，以期能充实von Neumann代数中套子代数的理论，并对非自伴算子代数的研究产生积极的影响。

算子代数的Hochschild上同调及相关的分类问题是算子理论与算子代数领域中的重要研究课题之一。它的研究对揭示算子代数的结构和代数不变量具有重要的意义。本项目基于von Neumann代数的Hochschild上同调问题的研究与套代数中套的分类问题的研究这一背景，对因子von Neumann代数中套子代数的Hochschild上同调及套的分类问题进行研究。主要研究内容与重要结果如下：. 在因子von Neumann代数中套子代数的Hochschild上同调方面，得到了由II无穷型因子von Neumann代数中套子代数到相对紧算子理想的一阶Hochschild上同调群为零，这对II无穷型因子von Neumann代数中套的分类问题的进一步研究有重要的意义。. 在因子von Neumann代数中套的分类方面，给出了II无穷型因子von Neumann代数中两个套相对紧扰动的一个刻画，这对进一步研究II无穷型因子von Neumann代数中套的相似分类有重要的意义。. 在算子代数结构与代数不变量方面以及与本项目相关的问题方面，研究了局部映射的结构，得到因子von Neumann代数上的局部Lie导子是Lie导子；三角代数上的局部Lie导子是Lie导子；给出了三角代数上交换零点处的Jordan可导映射的结构以及因子von Neumann代数上交叉零点处三重Lie可导映射的结构。研究了映射及非全局映射的自动可加性，得到三角代数上非线性广义Lie导子是模中心可加的；三角代数上零点处非线性三重导子是可加导子；因子von Neumann代数上的非线性混合三重Lie导子是*-可加导子。研究了保持映射及C*-动力系统，以正交投影和自伴正和算子为不变量，给出了保持组合投影不变的非线性满射的结构；保持组合自伴正和算子不变的非线性满射的结构；得到了因子von Neumann代数上保持混合三重Lie积的非线性双射的结构以及内拟对角C*-代数上Rokhlin作用的若干性质。