代数的Hochschild上同调代数及导出中心

本项目旨在研究代数的Hochschild上同调代数与其导出范畴中心之间的联系。从具体的例子出发，计算遗传代数、倾斜代数、循环圈的截面代数以及gentle代数的导出中心；研究（广义）Koszul代数与其对偶代数的导出范畴中心之间的联系；寻找一些具体代数（如特殊双列代数、截面代数和（广义）Koszul代数、有限范畴代数）的Hochschild上同调的算法；找出S-S猜想成立的条件；考察代数的Hochschild上同调代数到其导出中心之间的典范同态的核与余核，并研究该同态为同构的条件；利用中心理论来研究代数的奇点范畴。.三角范畴的中心有着很深的几何背景，最早被引入来研究奇异空间的Hochschild上同调理论，随后被用来研究Support理论以及有限群的上同调理论。而在这些研究中均涉及到了代数的Hochschild上同调代数到其导出中心的典范同态。基于对该典范同态重要性的认识，我们提出了该项目。

本项目执行情况良好。我们重点研究了代数的Hochschild上同调、导出中心以及奇点理论，另外，我们将表示论的思想和方法应用到Hopf代数和量子群、Poisson代数等重要的非交换代数的研究中，均得到了一系列的工作。. 主要成果包括：(1)我们引入了广义d-Koszul模的概念，并证明了d-Koszul代数上的广义d-Koszul模的偶次上同调群构成一个Koszul模，由此证明了d-Koszul代数上d-Koszul模的奇次上同调为Koszul模，肯定回答了Green等04年（J Pure Appl Alg）提出的一个问题；证明了代数的有界导出范畴与完备复形范畴的具有相同的中心；我们引入了balanced pair概念，证明其诱导了复形范畴的同伦等价；(2) 我们对d-Koszul代数、外代数的Beilinson代数、以及一些特殊的Koszul代数的Hochschild上同调进行了刻画；对截面代数的Hochschild上同调群上的Gerstenhaber积给出具体构造；(3) 关于加权射影直线，我们引入了范畴扩展的概念，并证明了加权射影直线的凝聚层范畴可由某种范畴扩展得到；研究了Frobenius范畴的单态射范畴及其稳定范畴，证明了Frobenius范畴的Gabriel-Quillen定理，并将之应用到某种加权射影直线的研究中；显式地得到向量丛稳定范畴的recollement；(4) 关于奇点范畴，我们证明了根方零代数上没有非平凡的Gorenstein投射模，利用von Neumann 正则代数刻画了其奇点范畴，并刻画了其Hom-finite性；统一处理了Orlov关于奇点范畴的两个定理，并证明了相应的非交换环版本；(5) 关于l量子群、张量范畴和非交换Poisson代数方面，我们给出了极小Hopf箭图（即循环圈）上的所有Hopf代数结构；在特征0情况下，通过给出余表示有限型点化Majid代数的完全分类，给出了有限型点化张量范畴的完全分类；关于非交换Poisson代数，我们对Poisson代数引入了包络代数的概念，证明了Poisson代数上的Poisson模范畴同构于其包络代数的模范畴；同时，利用组合方法对基本圈上的Poisson结构进行完全分类。