Hochschild（上）同调及其在代数表示论中的应用

Hochschild (co)homology is one of the main topics in homological algebra, which was applied to many mathematical branches such as group theory, Lie theory, algebraic topology, K-theory, and (noncommutative) algebraic geomrtry. This project is the crossing field of homological algebra, algebraic K-theory, (noncommutative) algebraic geometry and representation theory of algebras. We will establish the theory of Hattori-Stallings trace maps, and apply it to show that the Extension conjecture holds for finite dimensional elementary algebras. We will prove that finite Hochschild homology dimension is open, which will provide a degeneration criterion for an algebra to be of finite Hochschild homology dimension. We will clarify the equivalences between the Hochschild cohomology dimension being zero and the Gabriel quiver being tree, and between finite Hochschild cohomology dimension and finite global dimension, for monomial algebras. The latter implies that the Happel's question has a positive answer for monomial algebras. We will reveal the relationship between Hochschild (co)homology and cleaving functors, which will furnish a cleaving method for comparing the Hochschild (co)homologies of algebras.

本项目为同调代数、代数K-理论、（非交换）代数几何、代数表示理论的交叉领域。将建立微分分次代数的Hattori-Stallings迹映射理论，并由此证明Extension conjecture对于有限维初等代数成立；将证明有限Hochschild同调维数为开性质，给出判断代数的Hochschild同调维数有限的退化方法；将揭示monomial代数Hochschild上同调维数为零与Gabriel箭图为树、Hochschild上同调维数有限与整体维数有限之间的等价关系，后者表明Happel问题对于monomial代数是肯定的；将澄清Hochschild（上）同调与cleaving函子之间的关系，为比较代数的Hochschild（上）同调提供cleaving函子方法。

项目组全体成员分工合作在Hochschild（上）同调与代数表示方面取得系列学术成果。在Hochschild（上）同调方面：证明了微分分次代数与其Koszul对偶的Hochschild（上）同调同构，有限维对称微分分次代数与其Koszul对偶的Hochschild 上同调作为Batalin-Vilkovisky代数同构，从而揭示了对称微分分次代数与Calabi-Yau 微分分次代数的Hochschild上同调的Batalin-Vilkovisky代数结构之间的本质联系；引入了微分分次代数的Hochschild扩张，证明了其为A无穷代数，证明了正合Hochschild扩张均为对称A无穷代数，平凡扩张的Koszul对偶为Koszul对偶的Calabi-Yau完备，正合Hochschild扩张的Koszul对偶为Koszul对偶的形变Calabi-Yau完备，从而揭示了正合Hochschild扩张与形变Calabi-Yau完备之间的Koszul对偶关系；引入了三角范畴的n-recollement，从而将代数的无界、上有界、下有界、有界导出范畴的recollement统一到代数的无界导出范畴的n-recollement的框架下，揭示了代数导出范畴的n-recollement与代数的Cartan行列式、同调光滑性、Gorenstein性之间的紧密联系，将Cartan行列式猜想约化至1-导出单代数，将Gorenstein对称猜想约化至2-导出单代数，为证明这些猜想提供了新思路，为证明这些猜想对一些代数类成立提供了工具。在代数表示方面：引入了代数的整体上同调长度、宽度、跨度，给出导出有界代数、强导出无界代数定义，证明了导出Brauer-Thrall型定理I、II，这是经典Brauer-Thrall型定理I、II的导出版本；给出了对偶化范畴的张量积构造方法，证明了各种各样的复形范畴有Auslander-Reiten序列；给出上三角幂零矩阵在上三角相似下的表示型分类；基于Belitskii典范形，给出计算线性动力系统等价类的维数的有效方法，提供了计算线性矩阵问题上的矩阵的共轭轨道维数与参数数的有效方法；利用量子超Schur-Weyl对偶，给出了Regev 公式的量子形式，构建了分圆Hecke代数与量子超代数之间的超Schur-Weyl对偶。