小波框架的构造及其在压缩感知领域中的应用

The group will systematically study the construction of wavelet frames with sparse representation ability and its effective algorithms, will study the recovery problem for part missing coefficients of signal under the wavelet frame representation, and will also study the construction of complex direction wavelet frames and its effective algorithms. Furthermore, the group will study compressive sensing theory of signal under wavelet frames representation, and will also use new wavelet frames theories obtained by us to research some problems for image processing. The group will research the construction of wavelet frames and its algorithms by using newest method of modern analysis, will study sparse signal recovery under wavelet frames representation by using wavelet theory, function approximation theory, optimization theory, matrix theory and random matrix theory, in particular,focusing on compressible signal recovery problem, and will research some problems of image processing by using newest image processing methods and compressive sensing theory. It will overcome the shortcomings of current methods, and has the double meaning of theory and application for wavelet analysis theory and application. The project combines the wavelet analysis theory, function approximation, compressive sensing, image processing, learning theory, optimization theory, matrix theory, random matrix theory in mathematics and other related important branch.

项目组将系统地研究具有稀疏表示功能小波框架的构造及其有效算法，研究信号在框架展开下部分系数缺失后的重构问题，研究复值方向性小波框架的构造以及有效算法问题。进一步，项目组将研究信号在小波框架表示下的“压缩感知”理论（在小波框架表示下稀疏性信号恢复等问题），将所获得小波框架新的理论应用于图像处理中的若干问题研究中。本项目将采用最新的现代分析方法研究小波框架的构造及其算法等重构问题；将利用小波分析、函数逼近理论、优化理论、矩阵理论以及随机矩阵理论研究在小波框架表示下具有稀疏性信号的恢复问题，特别是对可压缩性信号的恢复；将利用最新的图像处理方法与压缩感知理论研究图像处理中若干问题。它将克服现有技术的不足，对小波分析研究领域具有理论及应用方面的双重意义。项目融合了小波分析理论、函数逼近理论、压缩感知、图像处理、学习理论、优化理论、矩阵理论、以及随机矩阵理论等若干重要的数学及其相关理论分支。

项目按计划开展研究工作，主要围绕“压缩感知”、“小波框架构造”、“压缩感知的应用”、“小波分析在信号处理和图像处理中的应用”以及“学习理论”等领域中的重要问题进行了深入的研究,取得了一系列重要研究成果。代表性工作包括：1.解决了压缩感知领域中核心概念RIP最佳上界的猜想，极大的发展了菲尔兹奖得主T.Tao与压缩感知奠基人之一E.Candes的奠基性工作；2.解决了国际应用数学与统计学大师,2018国际数学家大会高斯奖得主D.Donoho等提出的关于正交匹配算法的公开问题；3、系统的建立了小波框架表示下的压缩感知理论等；4. 研究了具有重要背景的非线性压缩感知算法理论，给出了一类非线性、非凸、非光滑模型的求解方法；5.研究傅里叶测量下的相位恢复问题，部分解决了E.Candes（ICM(2006)45分钟报告人,ICM（2014）一小时报告人）提出的关于提升方法降维以及WF算法最少测量数的两个公开问题；6.系统的研究了框架系数丢失的恢复问题，提出了自定位鲁棒框架的概念，证明了能够从无顺序的部分框架系数重构原始信号，进一步，证明了自定位鲁棒性质是重构过程稳定的充分必要条件；7.对于一般的丢失系数个数，得到误差算子的范数与位置无关的充分必要条件，并提出框架的一致逼近性质，给出了框架具有这种性质的充分必要条件并研究其构造方法；8.系统研究了样条子空间上的无相位采样问题，对于几乎处处恢复、局部恢复和全局恢复三种情形分别给出恢复不可分信号的充分必要条件，使用采样密度对无相位采样点列给出完整的特征刻画；9.研究了图像处理问题中的非凸模型和下界理论，给出了各向同性的模型的下界刻画，对于L0这个特殊的非凸模型，也得到一系列的理论结果；10.提出了一种新的图像分解的变分模型，证明了该模型能快速的计算较大规模问题，并且该模型和算法被应用到医学图像处理中；11.回答了学习理论中有关在线学习的两个公开问题，首次建立了在线学习容量相关分析和强范数收敛结果，发展了菲尔兹奖获得者S. Smale等学者关于在线学习的理论。项目组共发表了68篇学术论文，其中27篇发表在国际应用数学、计算数学、反问题、数学与信息以及人工智能交叉、纯粹数学等领域顶级期刊。所取得的研究成果不仅极大地发展了压缩感知、小波框架、图像处理、数据科学与人工智能的数学理论基础，而且这些理论必将有力的指导大数据与人工智能的具体应用。