一类非局部相场模型全离散Fourier拟谱方法的稳定性和收敛性分析

As a powerful tool to simulate interface problem, phase field model has important applications in many fields such as fluid mechanics, material science, and life science etc. Recently, a class of non-local phase field models has attracted extensive attention. No matter in theory or calculation, there are many results for the classical phase field models. But, with the introduction of non-local terms, many existing research methods on phase field models are challenged. Moreover, the existing numerical methods and theoretical analysis work are less. This project will study the non-local phase field models from the aspect of numerical methods and we hope to improve the theoretical results via this project. The main contents include: (1) A linear scheme of unconditionally stable (or energy stable) for fractional Cahn-Hillard model is constructed, and error estimate of the numerical method is analyzed;(2) A numerical method of energy dissipation and volume conservation is developed to solve the non-local Allen-Cahn equation, and the error estimate of the fully discrete Fourier pseudo-spectral scheme is discussed; (3) A numerical method for spatial fractional order multiphase flow model is presented, the energy stability and error estimation of the scheme are discussed.

作为模拟界面问题的有力工具，相场模型在流体力学、材料科学、和生命科学等多个领域有着重要的应用。最近，一类非局部相场模型引起了人们广泛的关注。对于经典的相场模型，无论在理论或者在计算方面都有很多结果。但是，随着非局部项的引入，使得原有的许多关于相场模型的研究方法受到挑战，而现有的数值方法及理论分析工作较少。本项将从数值方法方面对一类非局部相场模型进行研究，希望通过本课题的研究，发展这方面的理论结果。项目的主要内容包括：(1)构造分数阶Cahn-Hillard模型无条件稳定(或者能量稳定)的线性格式，分析数值格式的误差估计；(2)对于非局部Allen-Cahn方程，构造能量耗散、体积守恒的数值格式，讨论全离散格式的误差估计；(3)构造空间分数阶多相流模型的数值方法，讨论格式的能量稳定性与误差估计。

作为模拟界面问题的有力工具，相场模型在流体力学、材料科学和生命科学等多个领域有着重要的应用。本项目主要讨论Allen-Cahn和Cahn-Hilliard型及流体耦合相场模型的高效数值方法。主要的研究内容包含：(1)研究了求解三元Allen-Cahn、三相Cahn-Hilliard相场模型及二嵌段共聚物的Cahn-Hillard相场模型解耦和无条件能量稳定的数值方法；(2)研究时间分数阶Cahn-Hilliard方程的非均匀时间步进凸分裂数值算法；(3)研究了Cahn-Hilliard型方程基于IEQ预估-校正格式的无条件稳定性和误差估计；(4)研究了FitzHugh-Nagumo模型和Gray-Scott模型线性化数值方法，讨论了稳定性和误差估计；(5)研究了一类新的晶体相场模型和指数型相场模型无条件能量稳定的数值方法；(6)研究了非线性耦合的Navier-Stokes相场晶体模型和三嵌段共聚物流体耦合Cahn-Hilliard相场模型等的全解偶和无条件能量稳定的数值方法。. 重要结果：(1)得到了三元Allen-Cahn、三相Cahn-Hilliard相场模型及二嵌段共聚物的Cahn-Hillard相场模型一系列解耦、线性、非迭代和无条件能量稳定的数值方法；(2)得到了一个求解时间分数阶Cahn-Hilliard方程非均匀时间步的凸分裂数值算法；(3)构造了Cahn-Hilliard方程基于IEQ格式和预估-校正格式的数值方案，得了到无条件能量稳定性和误差估计；(4)得到了求解Gray-Scott和FitzHugh-Nagumo模型线性化方法，得到了能量稳定性和误差分析的结果；(5)得到了一类晶体相场模型和指数型相场模型(MBE模型)线性、时间二阶和无条件能量稳定的数值方法；(6)得到了求解非线性耦合的Navier-Stokes相场晶体模型和三嵌段共聚物流体耦合Cahn-Hilliard相场模型等全解偶和无条件能量稳定的数值方法；(7)基于本项目的研究，项目申请人获批了2020年国家自科天元项目和2022年国家自科地区项目；(8)以第一作者或通讯作者在Comput. Methods Appl. Mech.Engrg，J. Comput. Phys.等国际刊物上发表了15篇SCI论文。