高阶图像去噪模型的快速数值算法研究

Higher-order PDE-based image de-noising models stem the improvements from the ROF model. They can overcome the ladder effect at the time of achieving better de-noising effect. For their dispersion problems , because of the high degree of nonlinearity and involving higher-order partial derivatives to be calculated, many iterative algorithms for solving the nonlinear equations are not very efficient. Development of fast iterative algorithms to solve this kind of problem has important theoretical and practical significance. While solving the Euler’s elastic de-noising model and the mean curvature de-noising model based on the fourth-order PDEs , the proposed augmented Lagrangian methods need to solve the associated Euler-Lagrange equations derived from some of sub-problems and they involve too many sub-problems to be solved. Considering that the algorithm should be simple and efficient , this item will study more quickly and efficiently augmented Lagrangian method for these two kinds of de-noising models. The concrete research work is as follows: we intend to construct a linearized augmented Lagrangian method and a fixed point-based augmented Lagrangian method for solving the Euler’s elastic model and the mean curvature model, respectively. It therefore avoids solving partial differential equations. Furthermore, we study their convergence, and test the efficiencies of the algorithms by numerical experiments. We intend to study a more rapid and efficient augmented Lagrangian framework for solving the mean curvature model, research the convergence of the algorithm, and verify the efficiency of the algorithm through numerical experiments.

基于高阶PDE 的图像去噪模型源于对ROF 模型的改进，在达到较好的去噪效果时能克服阶梯效应。由于其离散问题的非线性程度很高且涉及高阶偏导数计算，许多求解非线性方程的迭代算法就显得不是很高效。发展快速迭代算法来解这类问题具有重要的理论价值和实际意义。已提出的增广拉格朗日方法在求解基于四阶PDE 的欧拉弹性去噪模型和均值曲率去噪模型时，需要对某些子问题的欧拉拉格朗日方程进行求解，且求解的子问题较多。本项目从算法应该简单、高效的角度出发，研究两类去噪模型的更加快速高效的增广拉格朗日方法。具体研究工作为：拟分别构造线性化增广拉格朗日方法与基于不动点的增广拉格朗日方法来求解欧拉弹性模型和均值曲率模型，避免了解偏微分方程，研究它们的收敛性，并且通过数值实验来检验算法的高效性；拟研究求解均值曲率模型的另外一种更快速高效的增广拉格朗日算法框架，研究算法的收敛性，并通过数值实验验证算法的高效性。

围绕着项目申请书内容，课题组对高阶图像去噪模型的快速数值算法研究，基于高阶整体变分的磁共振成像信号重构等问题开展研究工作，取得了一些研究成果，按质按量完成了项目申请书的计划，发表SCI论文1篇，2篇SCI论文在修改，1篇SCI论文已投稿。研究成果主要有以下几个方面：. 1). 提出了一种求解欧拉弹性去噪模型的新的线性化增广拉格朗日方法。我们详细介绍了求解增广拉格朗日泛函鞍点的步骤。不是通过FFT或线性迭代方法（例如，高斯-塞德尔方法）求解相关线性系统，而是采用线性化技术处理相关子问题，使得其具有闭形式解；而且，我们对所提出的方法进行了复杂性分析；最后，与以前的方法相比，实验结果验证了所提出的方法的高效性。. 2). 提出了一种求解均值曲率模型的新的快速的线性化增广拉格朗日方法。不是通过线性迭代方法（例如，高斯-塞德尔方法）求解相关线性系统，我们对两个子问题的二次罚项进行线性化，从而减少计算成本；而且我们给出了所提出的方法的复杂性分析；最后，用数值实验验证了我们算法的有效性和高效性。. 3). 提出了一种高效的交替方向乘子法求解基于高阶整体变分的磁共振成像重构问题。通过充分利用问题的特殊结构，我们使得所有的子问题或者具有闭形式解，或者能通过快速傅里叶变换求解。我们证明了算法在温和条件下的收敛性。MRI重建的实验结果验证了新的模型和算法的有效性。. 4). 伴随着Mumford Shah Potts型模型在空间连续形式下的扩展，提出了一些高效的基于交替方向乘子法和原始对偶方法的数据聚类算法来高效地处理所提出的模型中的非光滑问题。在变分不等式框架下，建立了所提出的数据聚类算法的收敛性。一些平衡和不平衡的聚类问题被进行了测试，这表明了所提出的算法的高效性。. 总之，我们对项目申请书的部分研究内容进行了深入的探讨和研究，并进行了其他方面的研究工作，为今后的研究工作打下了坚实的基础。