非局部相场模型高效数值算法研究及理论分析

The space fractional phase field models are the basic models of phase transition theory and interface dynamics in materials science. However, because of the influence of the fractional operator, the effective methods for solving integer order problems are not valid any more. Therefore, the project is aimed to develop the effective algorithms applicable to the space fractional phase field models . On one hand, the original problem is divided into several simple sub-equations based on operator splitting methods, then by using spectral method, compact difference scheme, analytic method and Runge-Kutta method, we will develop several global optimal strategies with non-increasing energy, mass conservation and good stability. Besides, the corresponding theoretical analysis will be discussed. On the other hand, by using integral deferred correction method, multigrid method and adaptive time stepping method, robust and powerful algorithm and high accuracy solver are designed to reduce the computational cost for solving the discrete system. Finally, we design the parallel programs with dissipative structures in order to achieve large scale numerical simulation, then the essence of anomalous diffusion process can be understood deeply. The project will further promote the research of numerical algorithms for solving space fractional partial differential equations, and provide new methods for the nonliear science and materials science research.

空间分数阶相场模型是材料学中研究相变理论和界面动力学的基本模型，但由于分数阶导算子的影响，传统求解整数阶问题的有效数值方法在解决此类问题时遇到了严重困难。因此，本项目拟发展适合求解空间分数阶相场模型的快速高效数值算法。一方面，基于算子分裂思想将原问题分裂为若干性质不同的简单子问题，综合运用谱方法、紧致差分法、解析法、Runge-Kutta法等，建立能量非增、质量守恒、稳定性好的整体最优求解策略，并给出相应理论分析。另一方面，结合积分校正技术、多重网格方法、时间步长自适应技术等，设计出强健迭代格式和快速高精度求解器，使其具有保耗散结构的性质。并研制具备良好可移植性的并行计算程序，实现长时间大规模动力学行为的模拟，从而更深刻地理解反常扩散过程的本质。本项研究将进一步推动空间分数阶偏微分方程高效数值算法的研究，同时为非线性科学及材料科学的研究提供新途径。

相场模型是材料学中研究相变理论和界面动力学的基本模型。然而随着科学技术水平的不断提高以及对问题研究的不断深入，人们发现经典整数阶模型已经不能很好的满足实际应用需要。近年来分数阶微分方程引起了人们的注意，由于其特有的历史记忆性和全局相关性，在研究一些具有记忆过程、遗传性质以及异质材料时，可以更简单、合理的描述这些自然科学以及工程领域的非经典现象。本项目以空间分数阶Allen-Cahn方程为重点研究对象，研究其数值逼近中的高性能数值算法，并与整数阶数值结果作比较。最后进一步将此方法推广到分数阶Cahn-Hilliard方程及分数阶粘性Cahn-Hilliard方程。. 然而由于分数阶导算子的影响，使得许多求解经典整数阶相场方程行之有效的数值方法在解决此类问题时遇到了严重困难。本项目采用算子分裂思想，将原问题分裂为三个简单子问题，然后分别采用谱方法、解析法、高阶紧致差分方法建立每个子问题的离散格式。并运用能量方法严格分析算法的能量不增性。该项目的研究成果将加深对反常扩散过程本质的理解，并为非线性科学的研究和发展及复杂动力学行为的研究提供新途径。. 本项目已经取得了部分研究成果：.(1)对于时间/空间分数阶对流扩散方程，我们已经设计出有效的数值离散方法，并给出了相应的收敛性和稳定性分析，数值试验表明所给格式与理论分析完全吻合。.(2)在上述工作的基础上，我们给出了空间分数阶Schrödinger方程，空间分数阶质量守恒型Allen-Cahn方程，空间分数阶Cahn-Hilliard方程及粘性Cahn-Hilliard方程的高效算子分裂格式。并严格给出了算法稳定性和收敛性分析，而对于算法所满足的能量递减性，理论分析具有一定难度，还处于推导阶段。