具有临界增长的非线性椭圆方程与系统半经典解的若干前沿问题研究

We consider the semiclassical states of nonlinear Schrodinger equations, Bose-Einstein systems and Hamiltonian elliptic systems involving critical growth. Firstly, without the Ambrosetti-Rabinowtiz condition and the monotonicity on the nonlinear term, we use the penalization argument to consider the concentration phenomena of the singularly perturbed elliptic equation with the Robin condition in the critical case. Secondly, by the penalization argument, we consider the Bose-Einstein system involving critical growth in the whole space and investigate the semiclassical states concentrating around the low dimensional sphere. Thirdly, by virtue of the Hopf Fibration reduction method, we investigate the concentration phenomena of positive and sign changing solutions to the critical Bose-Einstein system in an annulus. Finally, by the variational approach, we consider the semiclassical ground states of Hamiltonian elliptic systems involving critical growth. These topics lie in the frontier of the modern mathematica. This project will move forward the development of the variational methods.

本项目计划研究具有临界增长的非线性Schrodinger方程，Bose-Einstein系统和Hamiltonian椭圆系统的半经典状态，其主要内容为：1. 利用罚函数方法在没有Ambrosetti-Rabinowtiz条件和非线性项的单调性条件下，研究临界情形半线性椭圆方程的Robin问题正解的集中现象；2. 利用罚函数方法，研究全空间上临界的Bose-Einstein系统集中于低维球面的半经典状态；3. 利用Hopf Fibration约化方法，研究环形区域上临界的Bose-Einstein系统正解和变号解的集中现象；4. 利用变分方法研究临界增长的Hamilton椭圆系统基态解的半经典状态。本项目研究课题是当前国际前沿热点问题，其解决将有助推动变分方法的发展。

本项目主要研究了具有临界项的非线性椭圆方程的基态，束缚态和半经典状态。主要研究内容和结果包括：1. 利用变分方法和Hopf约化技巧，研究了四维波色-爱因斯坦方程组正解的存在性，在耦合参数适当小时，获得了集中于低维球面的正解的存在性；2. 利用变分方法和Nehari-Pankov方法研究了具有临界指数项的强不定椭圆方程组的基态解的存在性；3. 利用变分方法研究了一类具有临界指数非线性项的椭圆方程组，在耦合参数充分小或充分大的条件下，获得了其基态解的存在性；4. 利用变分方法研究了一类具有超临界增长的非线性薛定谔方程变号解的存在性，结合能量估计获得了其在低维球面的集中现象，并讨论了权函数与集中位置的关系。同时，利用变分方法，本项目还获得了具有临界指数的薛定谔-泊松系统集中于鞍点的半经典状态，具有下临界指数的Choquard方程基态解的存在性，具有临界指数的拟线性方程正解的存在性和平面上具有临界指数的薛定谔-牛顿系统正解的存在性；利用下降流不变集方法，获得了Kirchhoff方程，拟线性椭圆方程以及带规范化场的薛定谔方程变号解的存在性。本项目提出了一些新的方法，改进了一些已有重要结果，相信将有助推动变分方法的发展。