非线性椭圆方程的可解性与临界参数问题

本课题旨在研究来源于共形几何和质量运输等领域的非线性椭圆方程。目标在于研究这类方程的各类边值问题（如Dirichlet边值和斜微商边值问题等）的可解性，对求解区域寻找合适的几何条件，以保证边值问题解的存在性和正则性；对方程中的参数趋近于其临界情形时，我们研究问题解的渐近行为，以加深对其几何意义的理解。我们的主要研究手段是变分法以及其他分析技巧。首先，利用几何上的合适不变量，给出各自相应的能量泛函，并探讨各自所对应的Pohozaev恒等式的形式；以区分出方程参数的临界情形。对于不同临界情形，我们将对于某些极限方程解作合适的分类刻画。极限方程解的性质，特别是解在零点或无穷远点的渐近行为，可以帮助我们寻找合适的试验函数，以研究参数变化对解的存在性所产生的微妙影响。最后，对于方程解的各种情形，我们将给出合适的几何解释。