Banach空间非满弱扰动等距嵌入与空间结构

In the isometric theory of real Banach space, Hyers and Ulam proposed and studied the problem that if a surjective nonlinear weakly perturbed isometric embedding is a perturbation of a surjective linear isometry satisfying that the perturbed error is uniformly bounded, and Figiel proved that there exists an unique linear left inverse for any isometric embedding. Connecting Hyers-Ulam problem and Figiel theory, Qian presented the stability problem that whether there exists a linear left quasi-inverse for any non-surjective nonlinear weakly perturbed isometric embedding. This project is dedicated to the research of the stability problem proposed by Qian and some related problems. By making use of the structural properties of Banach space, such as generalized vector-valued invariant average of Banach space, the weak stability equation of nonlinear weakly perturbed isometric embedding and complementability of some associated subspaces, we will achieve the following goals: (1) revealing the implication relation between the existence of non-surjective nonlinear weakly perturbed isometric embedding, the existence of isometric embedding, and the existence of linear isometric embedding; (2) in non-reflexive Banach space, proving the stability characterization of non-surjective nonlinear weakly perturbed isometric embedding, and indicating the relationship between stability and structural properties, such as linear embeddability and complementability of some associated subspaces;(3) investigating the local properties, basis sequence preserving property, and the existence and uniqueness of representation subset of non-surjective isometric embedding.

在实Banach空间等距理论中，Hyers和Ulam提出并研究满的非线性弱扰动等距嵌入是否是满的线性等距误差一致有界的扰动的问题， Figiel证得非线性等距嵌入的线性左逆的存在性和唯一性。Qian在上述两个工作的基础上，提出非满非线性弱扰动等距嵌入是否存在线性左拟逆的稳定性问题。本项目致力于研究Qian所提出的稳定性问题以及其他相关问题，拟利用Banach空间广义向量值不变平均技巧、非线性弱扰动等距嵌入的弱稳定性公式、相关子空间的可补性等理论与方法去实现以下目标：（1）揭示非满非线性弱扰动等距嵌入的存在性与等距嵌入的存在性及线性等距嵌入的存在性之间的相互蕴含关系；（2）在非自反的空间中，刻画非满非线性弱扰动等距嵌入的稳定性特征，以及揭示稳定性与相关子空间的可线性等距嵌入、可补等空间结构性质的联系；（3）研究非满等距嵌入的局部性质和基序列保持性质，证明非满等距嵌入的表示集的存在性和唯一性。

Banach空间等距及其扰动理论是空间非线性几何理论的重要内容,其研究历史悠久、底蕴深厚、成果丰硕、影响深远。本项目对空间等距及其扰动理论开展了深入系统的研究，并取得了突破性的成果。主要体现在下列几个方面：. 一、在等距的线性化理论方面：. 本项目运用Banach空间不变平均等性质，刻画出非线性等距的Figiel线性左逆算子具有线性等距右逆的特征。特别地，证明了如果值域空间是弱近严格凸的，则Figiel算子具有线性等距右逆。这些结论推广了经典的Baker定理，为Godefroy-Kalton定理提供了出色的补充。. 二、在等距的表示子集理论方面：. 本项目证明了如果从空间X的单位闭球到空间Y存在标准的等距，则X可等距嵌入到Y的二次对偶空间；如果Y是弱近严格凸空间,则X可等距嵌入到Y中；进一步，如果Y是弱近严格凸空间，如果从空间X的单位闭球到空间Y存在标准的等距，则X可线性等距嵌入到Y中。上述成果部分肯定地回答了Dutrieux 和Lancien所提的公开问题。. 三、在扰动等距的稳定性理论方面：. 本项目利用共同延拓算子等性质证得：对于任意紧Hausdorff空间T，对于任意从空间X到连续函数空间C(T)的扰动等距f: X→C(T)，存在T的非空闭子集S，使得f在S上可由线性等距一致逼近；如果T是紧度量空间，则扰动等距f: X→C(T)的存在性蕴含线性等距g：X→C(T)的存在性。上述成果推广了诸多前人们的工作。. 四、在扰动等距的一致逼近理论方面：. 本项目证得当T为紧度量空间，则任意的扰动等距f：X→C(T)都可以表示成某个等距g：X→C(T)的一致有界的扰动。该结论是Vestfrid定理的重要进展。. 五、在Banach空间的最佳逼近理论方面：. 本项目揭示了空间范数拓扑和弱拓扑意义下闭凸子集的强Chebyshev性、逼近紧性、强近迫性和近迫性的联系和区别，构造系列例子完全区分上述概念；构造出一个反例彻底否定解决Bandyopadhyay等人提出的公开问题。. 本项目已在泛函分析国际权威和重要杂志发表论文九篇，在科学出版社出版学术专著一本。