黎曼曲面的卡拉比-丘范畴

The proposal studies the cluster theory from Riemann surface in representation theory of algebras. Cluster algebras were introduced by Fomin and Zelevinsky around 2000, with quiver with mutation as the combinatorial aspect. During the last decade, the cluster phenomenon was spotted in various areas in mathematics, as well as in physics, including geometric topology and representation theory. On one hand, the geometric aspect of cluster theory was explored by Fomin, Shapiro and Thurston. For any triangulation of a Riemann surface with marked points, they associated to a quiver (and later Labardini-Fragoso gave a corresponding potential) and proved that the mutation of quivers (with potential) is compatible with the flip of triangulations. On the other hand, Amiot and Keller introduced the generalized cluster category and 3-Calabi-Yau category associated to a quiver with potential. The proposal aims to describe these two categories via the geometric and topological structure of the surface, i.e. interpret objects via curves and interpret morphisms via intersections between curves. As applications, the cluster structure of the cluster category and the stability conditions on the 3-Calabi-Yau category will be studied.

本项目涉及代数表示论中由黎曼曲面得到的丛代数理论。丛代数由美国数学家Fomin和Zelevinsky于2000年左右引入，其组合层面由箭图的突变给出。在过去的二十年间，丛现象出现在了数学和物理中的诸多方面，其中包括几何拓扑和表示论。一方面，丛理论的几何层面由Fomin, Shapiro, Thurston发展：对于带标记的黎曼曲面的一个三角剖分，他们构造了一个箭图（随后Labardini-Fragoso给出了对应的势），并证明蓄势箭图的突变和三角剖分的翻动是协调的。另一方面，Amiot和Keller引入了蓄势箭图的3-Calabi-Yau广义丛范畴。本项目致力于用曲面的几何拓扑性质刻画这两类范畴的结构,即用曲面上的曲线分类范畴中的对象，用曲线间的交点刻画对象间的态射。作为应用，丛范畴上的丛结构以及3-Calabi-Yau范畴的稳定性条件空间将会被研究。

本项目主要研究由带有标记点的黎曼曲面（简称标记曲面）的三角剖分所得到的丛范畴和3-Calabi-Yau导出范畴。这两类三角范畴分别是拓扑Fukaya范畴和导出Fukaya范畴的三角子范畴和轨道范畴，是同调镜像对称理论的一部分。另一方面，它们可以分别实现为带势箭图的Ginzburg微分分次代数的完全范畴的商范畴和有限维导出范畴，因此可以利用代数表示论进行研究。..本项目的主要结果有：..1) 分类了曲面得到的丛范畴中刚性对象的自同态代数（亦即曲面的局部三角剖分得到的带势箭图的Jabocian代数）的模范畴中的不可分解模和态射，由此证明了其tau-倾斜模的突变替换图的连通性。.2）证明了曲面得到的3-Calabi-Yau导出范畴不依赖于剖分的选取，由此证明了对应的装饰点标记曲面的braid twist群在这个范畴的稳定性条件空间上的作用是忠实的。.3）分别用拓扑和代数方法给出了装饰点曲面的braid twist群的有限展示。.4）证明三角范畴的实现函子是等价函子当且仅当它是稠密的，且给出了Happel-Reiten-Smalo倾斜诱导导出等价的一些充要条件。..本项目的结果建立了代数和拓扑之间的一些联系，这些联系已经帮助我们得到了代数或拓扑重要的和尚未独立发现的性质，并被期待在未来的研究中引导出更多更深入的结果。