连续子空间混合Gabor标架理论及应用研究

Both multiplexing and MIMO techniques are crucial in wireless communication. To design efficient multiple channels and space-time codes in MIMO system is one of core issues. The research shows that super frames and multi-window Gabor frames have significant applications in multiplexing and MIMO techniques. In contrast to usual Gabor frames, duo to varying time-frequency shifts with windows, mixed Gabor frames can effectively represent dynamic signals, are more suitable for practical problems and have potential applications. They include mixed super and multi-window Gabor frames. Up to now, the study of mixed Gabor frames on the continuous whole space and discrete subspace has seen some achievements. But the study of mixed Gabor frames on continuous subspace has not. This project addresses the theory of mixed super and multi-window continuous subspace Gabor frames with rational time-frequency products, and its applications in multiplexing and MIMO techniques. It will further enrich the theory of Gabor frames, and give a theoretical support for its engineering applications.

多址技术和多天线接收多天线发送（MIMO）技术是无线通信领域中的两类关键技术。如何设计高效、便捷的多址通道和MIMO系统中的空时编码是研究的热点问题之一。研究表明超标架与多窗口Gabor标架在多址技术和MIMO技术方面具有重要应用。与通常Gabor标架相比，混合Gabor标架因其时频平移依窗函数的不同而变化，能有效地表示时频信息丰富的信号，更贴近实际应用，具有潜在的应用价值。它包括混合超Gabor标架与混合多窗口Gabor标架两类。目前，连续全空间和离散子空间混合Gabor标架理论的研究已取得一定进展，但连续子空间混合Gabor标架的研究未见报道。本项目拟在连续子空间背景下，基于时频平移参数乘积为有理数的前提，研究混合超Gabor标架理论和混合多窗口Gabor标架理论，并尝试其在多址技术和MIMO技术中的应用。这一研究将进一步丰富和完善Gabor标架理论，为其工程应用提供理论借鉴。

本项目在连续子空间背景下，关注混合Gabor标架及小波标架。研究内容涉及：混合多窗口Gabor标架、混合超Gabor标架、无条件小波基、p-进制小波标架及边值问题。.1）关于混合多窗口Gabor标架：通过构造恰当的Zak变换矩阵，我们刻画了有理时频混合多窗口Gabor系是其张成子空间标架、Riesz基、标准正交基的条件，以及Gabor标架I，II型Gabor对偶的唯一性；得到了Gabor对偶的具体表达形式，并提供了一些例子，它们表明：混合多窗口Gabor标架与通常多窗口Gabor标架之间存在重要差异。. 2）关于混合超Gabor标架：通过研究，我们发现：现有的Zak变换矩阵代数方法并不适用于混合超Gabor标架的情形。利用现有的Zak变换矩阵方法，不能构造出适合混合超Gabor系的Zak变换矩阵。为此，我们将混合超Gabor系转化为超平移不变系，已取得一些研究结果。.3）关于无条件小波基：寻找条件好的小波基作成$L^p(\mathbb{R}^d)$（$1<p<\infty$）的无条件基是一个研究热点。利用调和分析的工具和联系一般istropic伸缩矩阵的范数，我们证明了：在一定条件下，小波函数系作成$L^2(\mathbb{R}^{d})$的标准正交基时，其一定是$L^p(\mathbb{R}^d)$（$1<p<\infty$）的无条件基。.4）关于p-进制小波标架：p-进制MRA和GMRA是构造$L^{2}(\mathbb R_{+})$中小波标架的重要工具。我们证明了：对于单个生成元生成的p-进制平移不变子空间，其p-进制伸缩的交为$\{0\}$，且若生成元为p-进制细分函数，则其p-进制伸缩并的闭包是$L^{2}(\mathbb R_{+})$的一个约化子空间。结论虽类似于$L^{2}(\mathbb R)$的情形，但是定义在$\mathbb{R}_{+}$上的p-进制加法不同于通常加法，因此证明并不平凡。.5）关于边值问题：在Clifford分析中，边值问题是一个重要的研究方面。我们分别研究了无界域上k-正则函数带Haseman-位移、带共轭值的边值问题，以及有界域上k-正则函数、k-正则向量值函数的线性边值问题，并给出了相应边值问题的唯一解。.本项目完成了预期研究内容及研究目标，所得研究结果丰富和拓展了标架理论，并为其工程应用提供理论借鉴。.