子空间对偶标架理论的若干问题及应用

Multiplexing has been being one of the key techniques in wireless communications, in which frames play a important role. So far, the space of square integrable functions and its reducing subspace wavelet bi-frame theory and the Gabor bi-frame theory on the straight line have seen their great achivements, but the results about Sobolev subspace wavelet bi-frame theory and vector-valued subspace on periodic subset Gabor bi-frame theory have not been reported. Many signals in applications belong to a subspace. Our study has shown that subspace frame theory is not trivial generalization of the whole space frame theory. This project focuses on discussing what “bi-frames” two general generators can lead to in Sobolev subspace and vector-valued subspace on periodic subset respectively, and their applications in the field of wireless communication, etc. The research results will further enrich and perfect the wavelet and Gabor bi-frame theory, and provide a new perspective for designing efficient multiplexing mode.

多址技术一直是无线通信的关键技术之一，标架在多址技术方面有重要应用。到目前为止，平方可积函数空间及其约化子空间上小波对偶标架理论和直线上Gabor对偶标架的研究成果颇丰，但对Sobolev空间子空间和周期集向量子空间上对偶标架的研究未见报道。实际问题中有大量子空间中的信号。研究表明，子空间理论不是全空间理论的平凡推广。本项目拟在Sobolev空间子空间和周期集向量子空间背景下，讨论由一般生成元构成的对偶标架理论及其在无线通信等领域的应用。其研究成果将进一步丰富和完善小波与Gabor对偶标架理论，为设计高效的多址通信方式提供一个新的视角。

正如由一对细分函数导出的齐次小波对偶标架一样，非齐次小波对偶标架也容许快速小波变换，而这正是小波分析重点关注的一个方面. 当空间指标s不为0时，对Sobolev空间中的非齐次小波对偶标架来说，其光滑性和消失矩条件是彼此分离的，也就是说，一个函数系要求具有光滑性，另一个函数系要求具有消失矩条件，这使得在Sobolev空间中构造非齐次小波对偶标架时比在L^2(Rd)中有更大的灵活性. 实际问题中有大量子空间的信号。向量值空间上的标架也称为超标架，它在多路复用技术领域有广泛的应用。本项目关注子空间上对偶标架理论，研究内容涉及以下几方面：Sobolev约化子空间上非齐次弱小波对偶标架的等价性和构造准则、Sobolev约化子空间上非齐次小波对偶标架的刻画、向量值约化子空间上齐次对偶小波超标架的刻画、周期集子空间上部分Gabor对偶标架的性质。所得研究成果完成了项目申请中所涉及的主体内容，丰富和完善了小波与Gabor对偶标架的理论，也将为信号处理提供理论借鉴和启示。