无穷维解析分歧理论及其在生态模型中的应用

本项目以研究无穷维Bananch空间抽象非线性方程的解析分歧理论为核心，以在生态模型的动力学分析为应用。拟解决线性化算子的核空间为高维时，方程在分歧点附近的局部分歧情况，解支的正则性，流形结构，再次发生分歧的可能条件；拟研究小扰动下非线性方程在分歧点附近发生结构性改变，稳定性改变，给出双参数局部分歧的分类并应用于非自治微分方程；研究从非主特征出发的非球对称解的全局分歧问题； 利用极值原理，常秩定理等研究非线性偏微方程解的几何性质，如解的凸性或水平集凸性的刻画。应用以上抽象的理论于具体的生态学、化学反应中。特别是对半干旱地区植物生长形态，植物-地表水模型，土地沙化模型，进行动力学分析，给出早期预警信号。

在抽象理论方面, 我们研究了无穷维Banach空间抽象非线性方程的非完全分歧理论,得到了从退化特征值出发的单参数分歧定理,并应用于几类生物模型中. 应用Lyapunov-Schmidt 约化过程和 Morse引理, 研究了线性化算子的核空间为二维时, 方程在分歧点附近的局部分歧情况,得到了二重鞍结点分歧定理并应用于扰动半线性椭圆方程中. ..在应用方面,应用全局稳态分歧定理和Hopf分歧定理研究了几类化学反应方程空间非齐次的周期解的存在性,分歧方向,稳定性,及数值模拟. 我们从理论上和数值上研究了具有吸引与排斥项的Keller-Segel 化学趋化模型斑图形式. 证明了当吸引趋化比较强时, 尖峰稳态解的存在性. 通过我们的理论分析,选取适当参数值, 数值模拟了时间周期解和尖峰解. 我们的研究也表明吸引和趋化项的竞争引起了周期形式, 这对于单个信号的系统是不可能发生的.