随机参数作用下碰撞振动系统的非线性动力学研究

Nonlinear stochastic dynamics has become one of the most attention-grabbing research areas of current academic community. Up to now, the existing study on stochastic systems is mainly conducted for smooth systems, while there're few results obtained for vibro-impact systems. Yet, in practice, systems are usually characterized by both randomness and impact, so the investigation of stochastic vibro-impact systems act as an important tool to know about the objective world. This program aims at vibro-impact systems interacted with random parameter, various dynamic phenomena and chaos control of stochastic vibro-impact systems will be investigated. The theoretical method and the numerical simulation of studying the vibro-impact systems with random parameter will be tentatively established. The mechanism of action of random parameter on the dynamic phenomena like bifurcation, chaos, attractor and basin of attraction is discussed, and some methods of chaos control for stochastic vibro-impact systems are proposed. Furthermore, the similarities and differences between the chaos control of deterministic systems and stochastic systems are discussed, and the effect of the random parameter on the chaos control of impact systems is also studied. The fulfillment of this program can enrich the research achievements of the vibro-impact systems and can be an inspiration of the relevant topics in the field of other similar systems, so it plays an improving role in the development of the nonlinear stochastic dynamics.

非线性随机动力学的研究是当今学术界的一个热点问题。目前，关于随机系统的讨论大部分集中于光滑情形，涉及碰撞振动系统的研究相对较少，而现实中的很多动力系统同时兼有随机与碰撞的特性，因此，研究随机碰撞振动系统有利于人们更好地认识客观世界。本项目主要以随机参数作用下的碰撞振动系统为研究对象，对系统的各种动力学现象和混沌控制问题进行讨论，拟初步建立一套针对此类随机碰撞振动系统的理论分析方法和数值模拟方法。研究随机参数对碰撞振动系统分岔、混沌、吸引子、吸引域等动力学现象的作用机制；发展和设计一些面向随机碰撞振动系统的混沌控制方法，探讨确定性系统与随机系统混沌控制的异同以及随机参数对碰撞振动系统混沌控制的影响机理。本项目的进行将进一步丰富碰撞振动系统的研究成果，为其他类似系统的研究提供思路，对随机非线性系统的发展起到一定的推动作用。

本项目针对工程实际中经常遇到的非光滑碰撞振动系统，进行了如下一些主要研究：1.随机参数作用下碰撞振动系统的吸引子和吸引域问题。首先，基于正交多项式逼近理论，将具有随机参数的碰撞振动系统转化为一个与之等价的高维确定性系统，然后，对这个高维确定性系统采用复合胞坐标系方法，得到了随机系统集合平均响应的吸引子和吸引域。计算结果显示，随机参数对于系统的影响是不可忽略的，在某些特殊情况下，随机系统展现出了完全不同于确定性系统的吸引子和吸引域特征；2.几类不同类型噪声激励下Duffing-Van der Pol碰撞振动系统的稳态响应问题。首先，采用非光滑变换将系统转化为一个没有碰撞项的一般系统，然后，结合随机平均法得到相应FPK方程的解，进而得到原系统的稳态概率密度。分别讨论了不同参数作为分岔参数对于系统响应的影响，此外，还讨论了随机噪声对于系统的影响以及系统的一些随机分岔现象；3.一类碰撞振动系统的脉冲控制问题。将碰撞振动系统自身特点于脉冲控制法进行结合，令脉冲发生的时刻正是系统碰撞发生的时刻，给系统施加适当的脉冲信号，实现了控制系统粘滞运动的目的，计算显示，脉冲不仅可以抑制系统的粘滞运动，在需要的时候还可以诱发系统产生粘滞运动；4.Duffing-Van der Pol碰撞振动系统的激变现象。利用复合胞坐标系方法，通过计算系统的吸引子，吸引域及鞍点，发现了存在与此类系统中的两类激变现象，即边界激变与内部激变。计算显示，边界激变的产生是由于混沌吸引子与其边界上的周期鞍点碰撞形成的。内部激变有两种，一种是由于吸引域内部的混沌吸引子和混沌鞍点碰撞形成的，另一种是由于吸引域内部的周期吸引子与混沌鞍点碰撞形成的。该研究结果还指出，鞍点在这些激变过程中具有重要的作用；5.随机Rayleigh碰撞振子的响应问题。针对随机单自由度的Rayleigh碰撞振子，基于非光滑变换，得到了与系统对应的FPK方程，进而计算了系统的稳态概率密度。进一步研究了阻尼系数、恢复系数、噪声强度等参数对于系统响应的影响，考虑了系统的随机分岔现象。除了上述主要研究成果外，课题组还研究了一些与本项目相关的学术问题，比如,采用胞映射方法，研究了谐和与Poisson白噪声联合激励下Duffing振子的瞬态和稳态概率密度问题；应用位置控制法研究了多自由度碰撞振动系统的混沌控制问题；随机脉冲控制下一些混沌系统的稳定性问题。