基于Riccati方程和LMI的控制系统鲁棒稳定性研究

In the control system, Lyapunov stability theory is often used to discuss the robust stability of the system. In this framework there are two main research methods, called Riccati equation method and linear matrix inequality (LMI) method. Riccati matrix equations are essentially nonlinear equations of high dimension, which makes it is difficult for theoretical analysis and getting the solutions. This project will mainly study Riccati matrix equations from theory analysis and numerical methods, and design the optimal controller of the control system by using the LMI method: applying some special matrices, Schur complement, matrix inequality theory, we will study the properties of Riccati matrix equations, and estimate the numerical bounds and matrix bounds; using constructive method and compression mapping principle, combining with the optimization methods, we will discuss the efficient numerical algorithms for solving Riccati matrix equations; utilizing MATLAB toolbox to solve LMI, we will analysize the robust stability of the control system. This project aims to apply matrix theory to the control system related to Riccati matrix equations, and also apply LMI method to the robust control problem, getting stable and efficient controller to provide convenience for system simulation.

在控制系统中，Lyapunov稳定性理论经常用来讨论系统的鲁棒稳定性。在这一框架内主要有两种研究方法，即Riccati方程处理方法和线性矩阵不等式方法（LMI）。Riccati矩阵方程本质上是高维的非线性方程组，这给理论分析和求解带来了困难。本项目将主要从理论分析和数值方法两个方面对求解Riccati矩阵方程展开研究，同时探讨利用LMI方法求解控制系统的最优控制器：利用特殊矩阵、矩阵Schur补、矩阵不等式等理论和技巧，研究Riccati矩阵方程解的性质，估计解的数值界和矩阵界；使用构造性方法、压缩映射原理，结合目前的优化算法，发展求解Riccati矩阵方程的高效数值算法；结合MATLAB中的工具箱，求解LMI，分析控制系统的鲁棒稳定性。本项目旨在将矩阵理论运用到Riccati矩阵方程所对应的控制系统中，也将LMI方法应用于鲁棒控制问题的求解，获取高效稳定的控制器，为系统仿真提供方便。

在控制系统中，探讨其可控性和稳定性常常需要转化为研究其对应的Riccati矩阵方程。本项目着重讨论了控制系统中的Riccati矩阵方程的求解及其解的性质，设计了高效稳定的数值算法，促进了矩阵计算与控制理论的发展。..我们重点研究了以下问题：1）控制系统中的Riccati矩阵方程的求解和解的数值迭代算法。2）基于控制系统的大型矩阵方程的降阶处理。3）控制系统中的Riccati矩阵方程和矩阵微分方程约束解的矩阵界和约束解的数值界估计。..本项目利用了构造性方法、不动点迭代、算子理论等思想方法，结合矩阵分解、矩阵Schur补和特殊矩阵等丰富的矩阵理论知识和技巧，研究和解决了这些问题。