求解一类大规模稀疏线性矩阵方程的高效算法研究

Large sparse linear matrix equations arise in a wide variety of scientific computing and engineering applications. Designing efficient algorithms for this kind of matrix equations is a very important task for the settlement of the practical problems. Till now, few algorithms can be used to solve this kind of matrix equations. The iteration methods used for solving the matrix equations with complex coefficient matrix are even rarer. In order to solve the matrix equations efficiently, this project will study high efficient numerical algorithms by referencing the designing experience of the HSS iteration method for linear matrix equations and analyzing the characteristics and properties of the coefficient matrix. We believe that, through the research of this project, high efficient iteration methods will be proposed for the linear matrix equations. Furthermore, the needs for the fast settlement of the associated practical problems will be satisfied.

大规模稀疏线性矩阵方程存在于科学计算与工程应用的许多领域，设计高效的求解这种矩阵方程的数值算法对于解决这些领域中的实际问题起着非常重要的作用。但是到目前为止，真正适合这类矩阵方程求解的数值迭代方法很少，而对于求解系数矩阵是复矩阵的矩阵方程的研究则更为少见。为了有效解决矩阵方程的数值求解问题，本项目将在借鉴线性矩阵方程的HSS迭代方法设计经验的基础上，通过分析系数矩阵的特点和性质，研究适用于求解矩阵方程的高效数值迭代算法。相信通过本项目的研究，可以为矩阵方程的求解提供高效数值算法，进而为相关领域实际问题的快速有效解决提供算法保障。

在科学计算与工程应用等众多领域，例如：控制与系统理论、信号处理、图像恢复、滤波、线性系统的稳定性、模型降阶、摄影、电力系统等许多问题的解决，都需要求解大规模稀疏线性矩阵方程。从而设计高效的求解大规模线性矩阵方程的数值算法有着重要的理论和实际意义，可以有效促进相关实际问题的快速有效解决。本项目通过分析系数矩阵的特点和性质，提出了比现存的 HSS-based 迭代法更加高效的迭代方法。对于连续 Sylvester 方程 AX+XB=C，提出了预处理 HSS 迭代法 (PHSS) 以及它的非交替变体迭代法 (NPHSS)，预处理 shift-splitting (PreSS) 迭代法，广义正定和反 Hermitian 分裂 (GPSS) 迭代法及其加速技术；对于线性矩阵方程 AXB=C，提出了 PreSS 迭代法，GPSS 迭代法及其加速技术。对以上所建立的迭代方法都给出了收敛性结论，并且通过数值实验验证了迭代方法的高效性。此外，我们还就研究内容进行了扩展，对于凸规划问题，提出了修正的交替方向乘子法和基于收敛预测校正的 ADMM 法；对于一类 2X2 块线性系统，给出了参数化预处理修正 HSS 迭代法 (P2MHSS) 的最优预处理参数的一个实用计算公式。综上，通过本项目的研究，我们为线性矩阵方程及相关实际问题的解决提供了高效的算法保障和严密的理论支持，圆满完成了项目的研究工作。