一类大规模稀疏复对称线性方程组的高效算法与理论研究

Complex symmetric linear equations in the field of engineering and scientific computing has very wide applications, such as structural dynamics, wave propagation, electromagnetism, diffuse optical tomography and so on. Therefore, the study of the efficient numerical algorithms and theories for this class of linear equations has important theoretic significance, broad application prospect and high economic value. This complex symmetric linear equations is from direct frequency domain analysis of an n-degree-of-freedom (n-DOF) linear system in structural dynamics. This project mainly studies algebraic constructions, mathematical theories and specific implementation of the high-quality preconditioners and the high-performance iterative methods for this class of system of equations. Fistly,we present some new matrix splittings and establish some new efficient iterative methods by means of structural features of the coefficient matrix. Sencondly,we fully exert the sparse structures, sub-block structures and algebraic properties of the corresponding matrices to structure some new preconditioned iterative algorithms by tranforming complex symmetric linear equations into the corresponding two-by-two block linear equations. Then，we design efficient software package for complex symmetric linear systems from the popular software package for linear systems. In addition, we also make use of these new methods and theories for the complex symmetric nonlinear equations.

复对称线性方程组在工程和科学计算领域有着极其广泛的应用，如结构动力学、波的传播、电磁学、扩散光层析成像等。因此，研究这类线性代数方程组的高性能计算方法及其理论，就具有重要的理论意义、广泛的应用前景和很高的经济价值。结构动力学中一类N 自由度系统的运动微分方程经过直接频率区域分析离散会产生一类大规模稀疏复对称线性方程组。本项目主要研究求解这类特殊的线性代数方程组的高质量预处理子和高性能迭代方法的代数构造、数学理论及其具体实现。首先直接利用系数矩阵的结构特点给出新的矩阵分裂，建立新的高效迭代法；其次将复对称线性方程组转化为2乘2 块线性方程组，再充分利用矩阵的稀疏结构、子块结构及其代数性质，构建新的预处理迭代算法；然后利用国际上流行的线性系统软件包研发实用于复对称线性方程组的高性能软件包。此外，我们还拟将这些新方法和理论实际应用于复对称非线性系统之中。

结构动力学中经直接频率区域分析离散N自由度系统运动微分方程产生的一类大规模稀疏复对称线性方程组也常常出现在其他领域中，如波的传播、电磁学、扩散光层析成像、量子化学和涡流问题等。因此，对这类线性方程组的高性能计算方法及相关理论的研究，不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的应用价值。本项目在执行期内，依据项目任务书中的研究计划，完成了如下主要工作：1、通过利用系数矩阵的结构特点，针对不同结构的复对称线性方程组而设计了不同的有效迭代算法；2、通过矩阵分裂及预处理技术，构建了求解其等价2乘2块线性方程组的一些有效迭代算法及预处理子；3、根据复对称弱非线性系统的具体结构，结合矩阵分裂、光滑函数及交替方向迭代法等，给出了适合于不同具体结构的复对称弱非线性系统的交替迭代法。这些研究结果不仅是对复对称线性方程组现有的预处理技术及迭代算法的有力补充，也为进一步探索复对称非线性方程组的数值解法提供一定的思路和方法。