关于不可压缩管道流的若干数学问题

Navier-Stokes equations are the basic equations for fluid mechanics. We plan to study the asymptotic behavior and stability of some steady solutions to Navier-Stokes equations. More precisely, we will study the asymptotic behavior of the steady pipe flows. In particular, we will make clear whether the pipe flow converges to Poiseuille flow when the pipe becomes straight in the far distance. Furthermore, we will study the stability of Hagen-Poiseuille flow, including the linear and nonlinear stability under the perturbation of external force and domain. Both questions are classical ones in the area of hydrodynamic equations.

Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程。我们计划研究Navier-Stokes方程稳态解的渐进行为与稳定性。具体而言，本项目将研究关于管道流的两个紧密相连的问题。一方面，我们拟研究稳态管道流在无穷远处的渐进行为，特别地，将研究当管道逐渐变得平直时，管道流是否趋近于直管道Poiseuille流；另一方面，我们拟研究Hagen-Poiseuille流（一类特殊的直管道流）的稳定性，包括该直管道流在外力，区域等扰动下线性稳定性与非线性稳定性。这两个问题都属于流体方程领域的经典问题。

本项目主要围绕管道中不可压缩Navier-Stokes方程的解进行了一系列研究，主要关心解的存在性，唯一性，渐进行为等，特别对大通量解进行了细致的分析。我们主要做了以下结果：（1）对于三维管道中不可压缩Navier-Stokes方程的Dirichlet边值问题，我们证明了大流量轴对称解的存在性，局部唯一性，并得到了解的渐进行为。与之前结果相比较，我们的结果去掉了流体的通量限制，即流体的通量可以很大；（2）对于三维管道中不可压Navier-Stokes方程的Navier边值问题，我们证明了轴对称解的存在性，局部唯一性，并得到了解的渐进行为；尤其需要指出的是，所得结果关于Navier边界中的滑移系数是一致的，而且对流体的通量，粘性等也没有任何限制（3）对于二维管道中不可压缩Navier-Stokes方程，我们证明了周期解的存在性，局部唯一性等。