关于不可压缩流体的粘性消失极限问题

Incompressible viscous flow is the main object of study in Hydrodynamics. The understanding of this kind of flow is very little and in great demand. This project will investigate the vanishing viscosity limit of the systems which describe the motion of the incompressible flow such as Navier-Stokes equations. The approaches such as asymptotic analysis and energy estimate will be used to study the asymptotic behavior of solutions to the incompressible flow under different slip boundary conditions in general bounded domain in three dimensional space when the coefficient of viscosity of the equations tends to zero. The fact that the existence of the boundary may lead to the formation of boundary layer makes the study of inviscid limit very difficult. We have already considered the vanishing viscosity limit of Navier-Stokes equations under one slip boundary condition. This project will generalize the study in two directions. One is to discuss the inviscid limit of Navier-Stokes equations under other two slip boundary conditions. The other is to apply our method to Magnetohydrodynamic equations with slip boundary condition. The Navier slip boundary conditions are used in the large eddy simulations of turbulent flows. Therefore, the strict mathematical analysis in our project will enhance the understanding on this complex system and provide the theoretical foundation for the study of boundary layer of the incompressible fluids.

粘性不可压缩流体是流体动力学的主要研究对象。人们对这类流体的认识还远远不够。本项目研究刻画粘性不可压缩流体运动的Navier-Stokes等方程的粘性消失极限问题。我们拟采用渐近分析和能量估计等方法研究不同滑动边界条件下三维有界区域中不可压缩流体方程的解当粘性系数趋于零时的渐近行为。由于边界的存在所导致的边界层的出现使得无粘极限的研究变得非常困难。我们已对一类滑动边界条件下Navier-Stokes方程的粘性消失极限问题作了研究。项目中我们将作两方面的推广，一是讨论其他两类滑动边界条件下Navier-Stokes方程的无粘极限问题；二是将我们的方法应用到具有滑动边界条件的Magnetohydrodynamic方程上。所研究的Navier型滑动边界被用于湍流中大涡流的模拟。因此本项目中严格的数学分析将加深对湍流这个复杂系统的理解，为不可压缩流体边界层问题的研究提供理论依据。

由于本项目原计划制订的主要问题已经在2013年由肖跃龙和辛周平解决了,因此项目组成员在三年内主要围绕非线性偏微分方程的两个方向作了研究.一个方向是研究流体方程的解的存在性问题.另外一个研究了非线性发展方程和分数阶方程的对称群问题.本项目主要得到如下成果:.1. 建立了具有真空的三维粘性液-气两相流模型的柯西问题的经典解的全局存在性;建立了一维有界区间中具有真空的可压缩非牛顿流体的经典解的局部存在性;在初值属于临界空间条件下,证明了三维不可压缩MHD方程的局部适定性;研究了三维空间中一类粘性系数依赖于密度的可压缩Navier-Stokes方程的自由边值问题的解析解.得到了自由边界随时间按代数速率沿径向向外扩展等结果..2. 利用无穷维无中心的Virasoro型子代数和向量场的延拓结构分别建立了与（2+1）维MKdV方程及反对称NNV方程同构的几类新的方程组,并对其中一个得到的方程建立了群不变解;研究了一类三阶KdV型非线性发展方程的Galilei对称并对其中一个得到的Galilei不变方程作了完全群不变解的分类.推广了非线性发展方程切对称群分类法并利用该方法研究了一般形式的二阶发展方程,找到了所有不等价的容许半单代数且具有非平凡Levi因子的代数的二阶非线性发展方程;建立了分数阶偏微分方程的李对称和精确解,探讨了对称群方法对分数届方程,尤其是关于时间为Riemamn-Liouville导数的分数方程，如时间分数阶Harry-Dym等方程的研究的有效性.. 上述成果主要以10篇论文的形式呈现,其中已发表的SCI期刊文章8篇,核心期刊文章1篇,已接收的SCI文章1篇.. 项目组成员共参加相关学术会议8次,访问香港中文大学数学科学研究所3次,一人访问美国杜克大学,为期一年.