不可压缩非牛顿流体力学若干数学问题

Non-Newtonian fluids of differential type characterize many complicated phenomena different from Newtonian ones, such as rod-climbing effects, Weisenberg effects and the effects of the sedimentation of symmetric particles in a liquid and so on. In this project, applying Galerkin methods, Littlewood-Paley decomposition, local analysis method and variant method, we expect to obtain the existence, regularity, stability, asymptotic analysis of the solutions for generalized Newtonian fluids model, the viscoelastic fluid(generalized Navier-Stokes-alpha equation ), under general Navier's boundary conditions. By the theory of boundary layer, we will research the convergent problems for the viscoelastic fluid as the elastic response tends to zero or both elastic parameter and the viscosity tend to zero, and we try to look for the relationship between it and Ladyzenskaya model, Euler equations. We will view on the well-posedness of the exterior boundary value problems for genralized Newtonian fluid and viscoelastic fluid and expect to obtain the fundmental results for them. Finally, based on the results of the exterior boundary value problem for non-Newtonian fluid,we will focus on the problems in Liquids-particle interaction and obtain fundamental results for the rigid body sediment in non-Newtonian fluid.

非牛顿流体力学方程组刻画了不同于牛顿流体力学方程组的许多复杂现象，如 rob-climbing 效应、Weisenberg效应和对称粒子浸没在液体中的效应等等。本项目拟通过Galerkin方法、Littlewood-Paley分解方法、局部分析方法和变分理论分别研究具Navier边界条件指数型增长的牛顿流体方程组及其外区域问题和粘弹性流体力学方程组（推广的Navier-Stokes-alpha方程组）的适定性与解的渐进性。 借助于边界层理论和椭圆方程正则性估计，研究当弹性系数趋于零以及弹性系数和粘性系数同时趋于零时，粘弹性流体力学方程组（推广的Navier-Stokes-alpha方程组）的收敛性问题及与Ladyzenskaya 模型和Euler方程的关系。最后,在非牛顿流体方程组的外区域问题的基础上,申请者将对粒子与非牛顿流体相互作用方程组的适定性问题进行研究并期望得到一些基础性结果。

在基金委的资助下，负责人带领课题组成员从事非牛顿流体力学偏微分方程组相关问题研究。不断与国内外专家进行交流合作，了解了项目最新研究动态，并得到了一系列结果。首先，利用Galerkin方法，以及截断函数的办法研究半空间上具有Navier边界条件的非牛顿流体力学方程组的全局弱解存在性。这个结果推广了具有指数型非牛顿流体力学方程组的结果；另外，负责人与同行进行深入研究有关非牛顿流体力学方程组的边界层问题，第一个有意义的结果是在Dirichlet边界条件下，得到Euler-alpha 方程的收敛到Euer方程组的解。这个结果开拓了我们研究经典Dirichlet边界条件下的粘性消失极限问题的视野。我还着手于研究另外非牛顿流体力学方程组即二阶流体方程组在粘性系数和弹性系数同时趋于零的极限问题并得到二阶流体方程组被认为是Euer-alpha的小摄动时，该方程组的解收敛于Euler方程的解。然而二阶流体方程组被认为是Navier-Stokes方程的小摄动时，该极限很难得到，但是我们得到类似Kato准则的结果。从这些结果我们可以为Navier-Stokes 方程在Dirichlet 边界条件下收敛到Euler方程的粘性消失极限问题得到一些技巧和观察。