关于不可压缩的Navier-Stokes方程组的随机刻画的若干问题

In recent years, the stochastic characterization of the incompressible Navier-Stokes equations is one of the hot research topics in the world. There are currently two stochastic characterizations, namely, Constantin and Iyer’s stochastic Lagrangian representation, and Arnaudon and Cruzeiro’s stochastic variational principle. As an example, people have studied in detail the existence and stability of the stochastic Lagrangian flows on the two dimensional torus, and have compared them with the properties of the flows in the deterministic case. .Based on these studies, this program focuses on the following topics: (1) the properties of the stochastic Lagrangian flows on the spheres, including the stability and the time evolution of the rotation between two particles, and the existence of Brenier’s generalized incompressible flow on the spheres; (2) the differences and connections between the two stochastic characterizations of the incompressible Navier-Stokes equations, we shall first extend Constantin and Iyer’s stochastic Lagrangian representation to general compact Riemannian manifolds without boundary, and then directly prove that the two characterizations are equivalent by circumventing the Navier-Stokes equations; (3) the existence of generalized Brownian flow having a square integrable velocity field on the compact Riemannian manifolds without boundary.

近年来，关于不可压缩的Navier-Stokes方程组的随机刻画是国际上的热门研究方向之一，产生了Constantin和Iyer的随机Lagrange表示以及Arnaudon和Cruzeiro的随机变分准则两种刻画。作为例子，人们详细研究了二维环面上的随机Lagrange流的存在性和稳定性，并与确定性的流进行了比较。.在此基础上，本项目计划研究下列问题：（1）球面上的随机Lagrange流的性质，包括稳定性和两个粒子之间的旋度随时间演化的情况，以及Brenier的广义不可压缩流在球面上的存在性；（2）不可压缩的Navier-Stokes方程组的两种随机刻画之间的区别和联系，我们将先把随机Lagrange表示推广到无边的紧黎曼流形上，然后绕过Navier-Stokes方程组，直接证明二者的等价性；（3）无边的紧黎曼流形上具有平方可积的速度场的广义Brown流的存在性。

近二、三十年来，用概率方法来研究流体力学方程成为随机分析中的一个热门方向，产生了一批有影响的结果。本项目主要研究了以下内容：一、Navier-Stokes方程组的概率表示及其它随机流体力学方程的适定性。在前期关于球面上的随机Lagrange流的性质的研究基础上，把Constantin和Iyer关于Navier-Stokes方程组的概率表示公式推广到了一般的紧黎曼流形上；对于三维环面上的随机欧拉方程组也得到了一个概率表示公式，并利用后者得到了方程的光滑解的局部存在性。对于受到传输型噪声扰动的随机二维欧拉方程，利用涡点逼近的方法证明了白噪声解的存在性与正则性，用Galerkin逼近的方法研究了对应的无穷维Kolmogorov方程的适定性；当噪声中的参数取临界值2时，证明了随机二维欧拉方程的白噪声解在尺度变换下弱收敛到时空白噪声驱动的Navier-Stokes方程的唯一的平稳解，这是一个以前没有出现过的新颖结果。另外，研究了空间依赖的噪声对于mSQG方程的涡点系统的正则化作用，以及受到传输性噪声扰动的mSQG方程在L^2框架下的尺度极限问题，证明了它们收敛到确定型的耗散mSQG方程，后者具有唯一解。二、随机微分方程生成的半群的正则性与指数遍历性。对于由布朗运动或Lévy过程驱动的随机微分方程，当漂移系数只在一个紧集之外满足耗散性条件时，通过构造适当的耦合算子或耦合过程，证明了半群的Hölder正则性，以及半群在L^1-Wasserstein距离和全变差距离下的指数收敛性。三、Diperna-Lions理论的推广等工作。对于系数满足混合型的Osgood和Sobolev条件的随机微分方程，证明了它生成唯一的随机可测映射流，使得参考测度拟不变；当系数只具有一阶Sobolev正则性或满足严格的LPS可积性条件时，得到了随机微分方程对应的Fokker-Planck方程的解的定量的稳定性估计。