次黎曼流形上Kantorovich对偶位势函数适定性的研究

We study the well-posedness of Kantorovich potentials on sub-Riemannian manifolds. These main methods and ideas used to study these problems come from geometric analysis, measure theory, partial differential equations and optimization theory. We focus on studying the regularity of solutions of Monge-Ampère and Monge-Ampère type equations and systems on sub-Riemannian manifolds. In addition, we study the relationship between singular geodesics and well-posedness of Kantorovich potentials. We also pay attention to effects of singular geodesics on existence and uniqueness of optimal transport maps. Nowadays, optimal mass transportation has developed rapidly in many mathematics branches such as calculus of variations, partial differential equations, geometric measure theory, etc. Furthermore, optimal transportation problems have wide applications in many fields such as fluid mechanics, statistical physics, economics, transportation, image processing, meteorology, cosmology and so on. Therefore, it has been raised great interests and attention of optimal mass transportation. Further research on well-posedness of solutions to the Monge problem and those related mathematics problems on sub-Riemannian manifolds may combine optimal mass transportation, partial differential equations and geometric analysis on sub-Riemannian manifolds.

本课题拟深入研究次黎曼流形上的Kantorovich位势函数适定性，运用几何分析、测度论、偏微分方程理论、最优化理论的思想和方法，重点研究次黎曼流形上Monge-Ampère方程和Monge-Ampère型方程与方程组解的正则性问题；然后研究奇异测地线对位势函数适定性的影响，进而研究奇异测地线对最优映射存在唯一性的影响。近年来最优运输理论在数学学科中的变分法、偏微分方程和几何测度论等方向的研究得到了迅速发展，并在流体力学、统计物理、经济学、交通运输、图像处理、气象学和宇宙学等领域有重要应用，已越来越引起人们的广泛关注和重视。全面深入地研究次黎曼流形上Monge问题解的适定性及与之相关的数学问题对丰富最优运输问题、完全非线性偏微分方程理论以及次黎曼流形上的几何分析都有着重要意义。

次黎曼流形上的Kantorovich位势函数适定性是最优质量运输理论中的重要研究对象之一。适定性与最优运输映射的存在性、唯一性、正则性以及分类有着紧密的联系。该问题的研究需要运用几何分析、测度论、偏微分方程理论、最优化理论的思想和方法，此外还涉及流体力学、统计物理、经济学、交通运输、图像处理等领域。这些领域一直受到人们的广泛关注和重视。. 项目的主要内容围绕位势函数的适定性展开，涉及不同运输空间中对于不同费用函数时最优映射的存在唯一性、正则性，以及Monge-Ampère方程和Monge-Ampère型方程与方程组解的正则性的研究。此外我们还关注了与定性有关的一些应用问题，例如不等式的新证明、新不等式的建立、奇异测地线的性质等等。. 项目的重要结果有四个，分别为：第一、更新并推广第二变分问题方法，并使用此方法得到了最优映射存在性、唯一性和分类的有关结果；第二、获得了一类在线上具有单调性的最优映射，该映射与经济学中的边际成本模型有着紧密联系；第三、得到了一些几何泛函不等式，并从最优运输模型的角度解释了这些不等式之间的关系；第四、将欧式空间中Lebesgue点推广到一般度量测度空间上的测度点。. 项目的科学意义在于第一我们将第二变分问题方法中函数的凹凸性与具有不同单调性的最优映射对应起来，第二从应用的角度来讲我们探究了一类最优映射的经济学背景，并给出了一些实际模型中最优映射的具体表达式。简而言之这些结果对丰富最优运输、完全非线性偏微分方程理论以及次黎曼流形上的几何分析有着重要意义。