加权紧黎曼流形上函数逼近问题的研究

The theory of approximation is a significant branch in modern mathematics. Previously the problems in the theory of weighted approximation were about approximation in the function space on the torus, cube, sphere, ball and so on. The research in all the special compact Riemann manifolds has almost been done. But there are many problems left about approximation on general weighted compact Riemann manifold. In the proposal, we consider the problems of approximation on the weighted compact Riemann manifold. It includes direct and inverse theorems and the estimates of Kolmogorov n-width and linear n-width.

函数逼近论是现代数学的一个重要分支。以往主要考虑的是定义在环面、方体、球面、球体等加权函数空间中函数逼近问题，这些问题的理论大多已经发展的相当完善。但是加权的一般紧黎曼流形上函数逼近问题还有很多有待解决。本项目中，我们考虑加权紧黎曼流形上的函数逼近问题，包括正逆定理、Kolmogorov n-宽度和线性n-宽度的估计。

本项目研究定义在加权紧黎曼流形上的函数逼近问题，具体研究内容是定义在上以一类二阶的偏微分算子作为权的实函数空间中，对于给定的信息，构造出最优恢复的算子，并对该算子进行误差分析。我们得到了误差的上下界估计，并在特殊的情况下，给出了误差的精确结果。所得的结果可以进一步推广到带有更一般的高阶偏微分算子权的实函数空间。得到的算子误差估计对于数值计算中构造具体算子具有理论指导意义。