黎曼流形上特征函数的凝聚性与震荡积分

Let (M,g) be an n-dimensional compact smooth Riemannian manifold without boundary and f be an eigenfunction of the Laplace-Beltrami operator. The study on the concentration of eigenfunctions is of great value in Geometry, Analysis, Number Theory and many other math fields. One way to describe the concentration of f is to find the growth on eigenvalues for the L^p bound of f on M or on some submanifolds of M. . Intuitively, if the growth is more slow then the concentration is less. These estimates are studied in many famous works. In this research project, on certain manifolds, we plan to use harmonic analysis methods and techniques to study the L^p estimates for eigenfunctions restricted on some submanifolds, as well as their related problems.. By some well known results, these problems can be reduced to estimations of some oscillatory integral operators. Thus, in this project we will mainly study the boundedness of certain oscillatory integral operators and applications on the concentration of eigenfunctions.

考虑一个n维紧致无边的光滑黎曼流形(M,g)，假设f是这个流形上拉普拉斯-贝尔特拉米算子的一个特征函数。关于特征函数的凝聚性质研究在在几何、分析、数论等领域都有很重要的意义。刻画f凝聚性的一个方法是寻找它在该流形或者子流形上的L^p上界关于相应特征值的增长情况。.直观地说，如果增长越慢，那么f的凝聚性就越少（分布越均匀）。关于这类估计目前有大量著名的工作，这个项目中我们计划研究某些流形特征函数限制在一些子流形上的L^p估计以及一些相关问题。.根据已知的著名定理，这类问题最后都会转化为一类震荡积分算子的估计，因此我们实际要研究的是一些震荡积分算子的有界性以及它在特征函数凝聚性理论中的应用。

黎曼流形上拉普拉斯-贝尔特拉米算子以及其特征函数是该流形最重要的研究对象之一，调和映照和相关的震荡积分跟其紧密相关。它们在流形上的分析学中居于核心地位，不仅具有理论上的巨大意义，而且在几何、分析、数论等数学领域都有非常重要的应用价值。在这个项目中我们主要研究以下几个方面的内容。（1）某些高维流形上的特征函数限制在特殊子流形上的最佳上界估计（２）黎曼曲面到一般流形上的逼近调和映照性质（３）黎曼流形密切相关的一类震荡积分－拟微分算子和傅里叶积分算子的临界估计。.　　对于高维流形上特征函数的限制性估计，目前已经取得一些成果，但还在整理和投稿之中。.　　作为拉普拉斯-贝尔特拉米算子的零解即调和函数的直接推广，调和映照在这个课题中具有重要意义，我们取得了比较不错的成果，对于黎曼曲面出发的逼近调和映照，我们仔细研究了其霍普夫微分形式，在非常弱的情形下证明了它没有凝聚性，作为推论，我们得到了相应的能量恒等式和图像的连通性。目前成果还在投稿中。.　　对于拟微分算子和傅里叶积分算子在各种临界指标时的估计，我们得到了比较系统完善的成果，部分已经录用发表，部分还在投稿中。在这个课题中，我们在大多数情形下都实质改进了已知的结果。