正定哈密尔顿系统的局部极小轨道和弱KAM解

In this project, we are going to study some problems about locally minimal curves and weak-KAM solutions exhibited by positive definite Hamilton systems. The first one is about the perturbation of weak-KAM solutions when the Hamilton system is under analytical perturbation or potential perturbation. Another one is to study locally minimal orbits for each cohomoloy class and to investigate whether there exists relevant generating function, so that to establish certain method to construct global connecting orbits, which allows one to construct orbits possibly dense in phase space.

本项目就正定Hamilton系统的局部极小轨道和弱KAM解的若干问题展开研究。一是在解析扰动下或仅势能扰动下弱KAM解的摄动问题，以期得到预双曲正定Hamilton系统连接轨道的解析通有性等；二是局部极小轨道与相关生成函数的问题，以期就正定哈密尔顿系统建立基于局部极小轨道而构造大范围全局连接轨道的方法，从而有可能构造在相空间任意游走的连接轨道。

相关研究按照本项目计划展开，围绕正定Hamilton系统的动力学复杂性展开。具体取得的成果有如下几项：..第一，建立了一类分段光滑(受周期冲击力)正定Lagrange系统的Mather理论,证明了极小不变测度的存在性等结果; .第二，合作证明了通有C^4函数族中所有极小(极大)点的非退化性，这可能用于证明多自由度正定Hamilton系统极小周期轨道的双曲性；如果双曲性成立，则多自由度近可积Hamilton系统的Arnold扩散轨道的变分构造将简单得多；.第三， 合作证明了高维Hamilton系统\alpha函数的某些不可微性质，揭示了高维系统所特有的复杂性；.第四，合作证明了二自由度远离可积系统的大范围法向双曲不变柱面存在性。以前的研究结果只是在小扰动条件下运用KAM方法得到。该结果在全局连接轨道的变分构造（Arnold扩散）的研究中起到关键作用;.已经发表SCI论文4篇，接受1篇。