弱KAM理论及Hamilton-Jacobi方程的粘性解

弱KAM理论是由法国数学家Fathi于上个世纪九十年代后期在著名的Aubry-Mather理论基础上发展起来的一套理论，距今不超过十年，远未成熟，大量的基本问题有待解决。特别是近来，人们发现弱KAM理论和Hamilton-Jacobi方程的粘性解存在着本质的联系，并且先后发现这几种理论同控制论及几何测度论的Stable Norm理论有着深刻的联系。弱KAM理论与Hamilton-Jacobi方程的粘性解理论和经典的KAM理论又有着直接的深刻的联系。所有这一切说明，在某一个领域的发展可能会直接导致另外几个领域的共同发展。遗憾的是这些领域之间的联系并没有揭示得非常清楚。本课题利用弱KAM理论这一纽带，结合分析，拓扑及变分的数学工具，主要研究以下两个重要问题：1. Hamilton-Jacobi方程粘性解正则性的研究。2. 非凸的Hamiltonian系统定性研究。