随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程的能控性研究

This project is devoted to the controllability of the stochastic Kuramoto-Sivashinsky equation. We will study the insensitivity control problem and the null controllability with constraints on the state for the stochastic Kuramoto-Sivashinsky equation. For the first problem, we reduce our problem to the partial null controllability of a coupled system governed by a forward stochastic Kuramoto-Sivashinsky equation and a backward stochastic Kuramoto-Sivashinsky equation. Then, we discuss our problem applying Carleman estimate and duality argument. For the second problem, we first transform the controllability problem with constraints on the state into an equivalent controllability problem with constraint on the control. Then we try to establish a Carleman estimate adapted to the constraint on the control. According to this estimate, we can investigate the original problem. These problems arise in phase turbulence in reaction-diffusion systems and plane flame propagation, they have great theoretic and practical application value.

本项目主要研究随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程的能控性理论。具体的问题包括随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程的不灵敏控制问题和状态具有约束的零能控性问题。对于第一个问题，我们首先将问题等价转化为一个正向随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程和一个倒向随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程耦合的随机偏微分方程组的部分零能控性问题，然后借助于 Carleman 估计和对偶理论讨论这一问题。对于第二个问题，我们首先将问题等价转化为一个新的随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程的控制具有约束的零能控性问题，然后我们尝试建立一个适应于这个控制约束的 Carleman 估计，利用此估计对原问题进行讨论。 以上这些问题均出现在反应扩散系统相湍流和火焰燃烧传播等物理现象中，具有很好的理论意义和应用价值。

本项目主要研究了随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程的能控性理论。具体的问题包括随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程的不灵敏控制问题和状态具有约束的零能控性问题。这两个问题均出现在反应扩散系统相湍流和火焰燃烧传播等物理现象中，具有很好的理论意义和应用价值。对于第一个问题，我们首先将问题等价转化为一个正向随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程和一个倒向随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程耦合的随机偏微分方程组的部分零能控性问题，然后借助于 Carleman 估计和对偶理论解决了这一问题。对于第二个问题，我们首先将问题等价转化为一个新的随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程的控制具有约束的零能控性问题，然后我们建立了一个适应于这个控制约束的 Carleman 估计，利用此估计对原问题进行了讨论。本项目的研究为其他随机偏微分方程能控性理论的研究提供了一般方法和一般思路。