几类随机偏微分方程的能控性

本项目主要研究几类随机偏微分方程的能控性。所研究的方程主要包括内部受控的正向随机热方程，边界受控的正向随机波动方程，边界受控的正向随机Schr?dinger方程。期望通过对上述方程建立适当的Carleman型估计并结合随机偏微分方程本身的理论来建立和上述方程相对于的倒向方程的能观性估计，从而获得内部受控的正向随机热方程的零能控性，边界受控的正向随机波动方程以及正向随机Schr?dinger方程的精确能控性。

1. 随机偏微分方程的Carleman估计及其应用：.本人在一系列文章中，先后得到随机抛物型方程、随机Schrödinger方程和随机双曲型方程等的Carleman估计，并给出相应结果在随机偏微分方程的能控性，系数识别与状态观测等问题中的应用。. .2.随机Riesz型表示定理及应用：.建立了关于时间变量与概率测度有不同可积性的向量值适应随机过程全体所成Banach空间的随机Riesz型表示定理，在此基础上证明了任何一个取值于Hilbert空间的适应过程的Itô积分可以表示为另一个绝对可积的适应过程关于时间变量的Lebesgue/Bochner积分。另外，借助于上述随机Riesz型表示定理，我们在J.-M. Bismut和彭实戈等人开创性工作的基础上，给出了一般滤子空间倒向随机微分方程的变分形式、转置解的概念及适定性与比较定理。我们引入的新方法不需要用到鞅表示定理，也不需要用到Itô公式，而且可以比较方便地用于研究无限维空间中的向量值甚至算子值的倒向随机发展方程的适定性。..3. 算子值倒向随机偏微分方程的适定性及其应用.本人与人合作研究了一类算子值倒向随机偏微分方程的适定性，证明了这类方程存在唯一的松弛转置解。借助此种解，我们对扩散项含有控制且允许控制区域非凸的情形下受控随机发展方程最优控制问题建立了庞德里亚金型最大值原理。