空间生态学中几类偏微分方程模型的定性研究

Reaction-diffusion equation(s) is frequently used to model some real problems arising in physics, chemistry and ecology. The existence and qualitative properties of solutions of such equations are important topics in the theoretical study of PDE and its application. This designed research project aims to study the global dynamics of several specific mathematical models from ecology, e.g., the Lotka-Volterra type reaction-diffusion-advection-competition system. Our main goal is to explore the influence of certain important parameters (e.g., diffusion or advection coefficient, the boundary condition) on the potential dynamical behaviors, and to obtain the classification of parameter region in which different population dynamics may happen. Mathematically, advection term brings essential difficulty in the study of such problems as now the diffusion-advection type operator is no longer self-adjoint, which results in that many important ideas and methods developed in reaction-diffusion models (no advection) do not work anymore. Theoretically it is expected that we can further develop some methodology and techniques to deal with such problems which will facilitate the development of qualitative theory of PDE; and also, we can provide certain theoretical evidences to better understand the mechanism and evolution of various biological phenomena.

反应扩散方程或方程组常用于物理、化学、生态等学科中一些实际问题的数学建模，其各类解的存在性及其动力学性态一直是偏微分方程理论研究及应用中的重要课题。本项目拟研究生态学中几类具体模型的全局动力学行为，如Lotka-Volterra型反应-扩散-对流-竞争系统。我们主要探讨模型中的一些重要参数，如扩散、对流系数，边界条件等，对系统动力学行为的影响，得到参数域的剖分以及不同参数域内系统的不同动力学性态。数学上，对流项为这类问题的研究带来本质性困难，这是因为系统线性化之后得到的扩散-对流型线性算子不再是自伴算子，使得之前在反应-扩散模型（无对流）中发展的众多重要思想和方法不再适用。理论上我们将进一步发展处理这类问题的数学方法和技巧，促进偏微分方程定性理论的发展，同时也为更好地理解各种生物现象产生的机理和演化机制提供理论依据。

本项目的主要研究对象是反应-扩散-对流-竞争系统，研究的重点是考察边界条件、对流方向和速度、扩散速度、空间环境异质性、竞争强度等对系统动力学的影响。主要结果包括：（1）研究了一类空间一维反应-扩散-对流-竞争系统，阐明了空间环境异质性和物种扩散速度对种群竞争结果的影响；（2）研究了一般高维空间中的反应-扩散-对流-竞争系统，得到了参数域的剖分以及不同参数域内的不同动力学性态，给出了这类无穷维竞争系统强竞争、弱竞争、强弱竞争的定义，与经典的ODE竞争系统的定义方式相呼应；（3）建立了一个新的毒素-种群相互作用的偏微分方程模型，给出了种群生存、灭亡的充分条件，同时数值上分析了污染物（毒素）输入率、水流速度、扩散速度等多种因素对物种生存和密度空间分布的影响，观察到了新的现象；（4）研究了不同类型边界条件对河流生态系统动力学的影响，在对流环境下证明了“慢扩散物种赢得竞争”（“slower diffuser wins”），推广了美国科学院院士A. Hastings在无对流环境中建立的理论结果。主要研究成果发表在本领域的国际权威期刊Journal of Differential Equations（2篇），SIAM J. Appl. Math.（1篇），J. Appl. Anal. Comput.（1篇）。理论上，进一步发展了处理这类无穷维非自伴竞争系统的理论和方法，得到了一些新的理论结果；应用上，为理解对流环境中物种竞争演化机制提供了一定的理论支撑，为如何更好地保护河流生态系统提供了一定的理论依据。特别地，我们即将发表在SIAM J. Appl. Math.的论文已被选中将在SIAM’s online new site的“research nugget”进行宣传、报道。