几类拟线性偏微分方程组解的定性研究

This research project will mainly study the qualitative research of solutions for several classes of partial differential equations with quasi-linear cross-diffusion ; which include the global existence、uniform boundness and the existence of blow up solutions for S-K-T competition models and chemotactic biological models with quasi-linear cross-diffusion in higher dimensional space; the existence and stability of nontrivial steady states with spiky or singular structure and the detailed structure and asymptotic behavior of solutions in one and higher dimensional space for several types of S-K-T competition models and chemotactic biological models with quasi-linear cross diffusion;the existence and stability of nonconstant solutions for some nonautonomous systems with cross-diffusion. The research topics which we will investigate are the pioneering problems in international related field.Some classical methods cannot be directly applied to such problems,so we will look for new ideas and methods according to the characteristic of the problems. We expect obtain deep results and explain some important phenomena and experimental results.

本项目主要致力于几类拟线性偏微分方程组解的定性研究。主要研究S-K-T型拟线性交错扩散方程组及多种拟线性趋化性交错扩散方程组在高维空间中整体解的存在性、一致有界性和爆破解的存在性；非常数平衡解(特别是具有尖峰、奇异结构的平衡解)在一维空间及高维空间的存在性、解的细致结构、渐近性及稳定性；一些非自治的交错扩散方程组竞争模型的非常数平衡解的存在性及稳定性。本项目所研究的课题均为国际相关领域的前沿研究课题,并且已有的一些经典方法不能直接应用于此类问题,我们将根据问题的特点寻找新的研究思路和研究方法,期望在得到完整深刻研究结果的同时,解释一些重要自然现象和实验结果。

本项目按计划研究了S-K-T型拟线性交错扩散方程组、非自治交错扩散方程组、拟线性趋化性交错扩散方程组非常数平衡解在一维空间及高维空间的存在性及稳定性、整体解的存在性等内容。本项目的主要结果如下：（1）S-K-T型拟线性交错扩散方程组：利用特殊的扰动方法、细致的谱分析、特殊的构造法、Lyapunov-Schmidt约化法等证明了带两个交错扩散项的S-K-T模型极限方程组小尖峰平衡解的快慢结构、不稳定性及原交错扩散方程组正尖峰平衡解的存在性及不稳定性；证明了带交错扩散项的S-K-T模型另一类极限方程组分岔平衡解在高维空间的不稳定性、整体解的存在性及原交错扩散模型在高维空间非常数正平衡解的存在性及不稳定性；证明了对带交错扩散项的S-K-T竞争模型一类极限方程组非常数正平衡解在高维空间中的稳定性/不稳定性及原交错扩散方程组非常数平衡解在高维空间中的存在性及稳定性。（2）非自治交错扩散方程组：利用细致的谱分析和稳定性理论证明了方程组分岔平衡解的局部渐近稳定性。（3）拟线性趋化性交错扩散方程组：利用改进的全局分岔理论、利用Helly’s 紧定理、解的分岔结构的高阶渐近展开方法及结合分岔理论解的稳定性等方法证明了带反应项的趋化性交错扩散方程组在一维空间中非常数平衡解的存在性及稳定性；证明了一类趋化性交错扩散方程组非常数单调平衡解的存在性、解的具体结构及渐近性。本项目所证明的拟线性交错扩散方程组分岔平衡解和具有尖峰或奇异结构的非常数平衡解的存在性及稳定性/不稳定性从理论上验证及解释了多种自然现象。