与微分算子相关的加权Hardy型空间实变理论及应用

The real variable theory of the Hardy spaces and the theory of singular integral operators are the core content of harmonic analysis and closely related to equations of mathematical physics and other fields. Due to the need of partial differential equations, complex analysis and geometric analysis, singular integral operators associated with differential operators have been extensively development. Then the theory of new type of Hardy spaces associated with differential operators is very active. Recent years, we worked on the multiparameter Hardy spaces, anisotropic weighted Hardy spaces, anisotropic weighted Herz type Hardy spaces and Hardy spaces associated to operators on product domains, established the atomic or molecular decompositions. And we also obtained the boundedness of some singular integral operators and commutators, including some operators associated with Schr?dinger operators on some function spaces. In this project, we will study the real variable theory of the weighted Hardy spaces associated with operators on product domains, including the atomic decomposition, maximal characterizations and the theory of the duality. The real variable theory of the Herz type Hardy spaces associated with differential operators and the weighted Herz type Hardy spaces will be also established. Further, we will discuss the boundedness of Calderón-Zygmund operators and other singular integral operators and commutators associated with differential operators on the new type Hardy spaces.

Hardy空间实变理论和奇异积分算子理论构成了调和分析的核心内容，并与数理方程等领域有着密切联系。由于偏微分方程、复分析、几何分析的需要，与微分算子相关的奇异积分算子得到了长足发展，相关于微分算子的新型Hardy空间理论也十分活跃。近年来，申请人及合作者在多参数Hardy空间、各向异性的加权Hardy空间和Hardy型空间、乘积域上相关于算子的Hardy空间等函数空间上建立了原子或分子分解特征，得到了包括相关于Schr?dinger算子在内的一些奇异积分算子及交换子在函数空间的有界性等结果。本课题拟研究乘积域上相关于微分算子的加权Hardy空间的实变理论，主要包括原子刻画、极大函数刻画、对偶理论等。拟建立与微分算子相关的Herz型Hardy空间、及加权空间的实变理论。继而，讨论与微分算子相关的以Calderón-Zygmund算子为代表的奇异积分算子及交换子在这些Hardy型空间的有界性。

以Hardy空间为代表的函数空间实变理论和以Calderón-Zygmund 算子为代表的奇异积分算子理论构成了调和分析的核心内容，并与偏微分方程等研究领域有着密切联系。本课题围绕着函数空间的刻画和奇异积分算子有界性问题进行了有意探讨，四年来，课题组在国家自然基金支持下，按照研究计划和研究目标，完成了研究任务，已正式发表了标注本项目的科研论文29篇。主要包括：研究了相关于微分算子的乘积Hardy空间的实变刻画，以及与微分算子相关的Herz型Hardy空间的刻画；讨论了非齐度量测度空间上的Herz型Hardy空间及其应用；建立了一类与广义Schrödinger算子相关的BMO型函数空间的刻画，以及一类Triebel-Lizorkin型的振荡函数空间的小波刻画；研究了Heisenberg群上的一类Hardy型空间及原子刻画，并得到其与Heisenberg群上Q型空间的对偶性。研究了一类极大函数算子交换子有界性的等价刻画，得到几个多线性奇异积分算子交换子在几个函数空间有界性的等价结果；讨论了与微分算子相关的奇异积分算子及交换子在相关的函数空间上的有界性问题，建立了一些变指标函数空间上的奇异积分算子有界的结果等。函数空间的刻画体现了函数空间的特征，对函数空间的原子分解和分子分解，不仅是函数空间的特征使然，并且使得奇异积分算子及其交换子在函数空间有界性问题变的简单实用和可行。因此，我们的研究虽然是基础性的，也体现出在调和分析领域本身中有一定应用。众所周知，经典的Hardy空间可以用Laplace算子生成的半群进行刻画，与微分算子相关的Hardy空间实变理论本身是来自于偏微分方程等领域研究的需要，变指数空间的引进也是为了更加精确地解决微分方程中的有关问题，奇异积分算子同样是来源于复分析和偏微分方程的相关问题，所以，我们的研究结果也许将来在微分方程等领域有它的应用之处。